Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（Ⅰ）若當(dāng)時(shí)取得極值，求a的值及的單調(diào)區(qū)間；

（Ⅱ）若存在兩個(gè)極值點(diǎn)，，證明：．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）．單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為．（Ⅱ）見(jiàn)解析

【解析】

（1）求導(dǎo)數(shù)，由題意可知為方程的根，求解值，再令導(dǎo)數(shù)，，分別求解單調(diào)增區(qū)間與單調(diào)減區(qū)間，即可.

（2）函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)根，則，即可，再將變形整理為；若證明不等式，則需證明，由變形為，不妨設(shè)，即證，令，則，求函數(shù)的取值范圍，即可證明.

（Ⅰ）

∵時(shí)，取得極值，

∴，．

∴

由得或，

由得

∴的單調(diào)增區(qū)間為和，單調(diào)減區(qū)間為．

（Ⅱ）

∵存在兩個(gè)極值點(diǎn)，

∴方程即在上有兩個(gè)不等實(shí)根

∴且，

∴所證不等式等價(jià)于

即變形為

不妨設(shè)，即變形為

令，變形為，

令

則，

∴在上遞增．

∴，

∴成立，

∴成立．