Question

13．為了引導(dǎo)居民合理用水，某市決定全面實(shí)施階梯水價(jià)，階梯水價(jià)原則上以住宅（一套住宅為一戶）的月用水量為基準(zhǔn)定價(jià)，具體劃分標(biāo)準(zhǔn)如表：

階梯級(jí)別	第一階梯水量	第二階梯水量	第三階梯水量
月用水量范圍（單位：立方米）	（0，10]	（10，15]	（15，+∞）

從本市隨機(jī)抽取了10戶家庭，統(tǒng)計(jì)了同一月份的月用水量，得到如圖所示的莖葉圖：
（1）現(xiàn)要在這10戶家庭中任意選取3家，求取到第二階梯水量的戶數(shù)X的分布列與數(shù)學(xué)期望；
（2）用抽到的10戶家庭作為樣本估計(jì)全市的居民用水情況，從全市依次隨機(jī)抽取10戶，若抽到n戶月用水量為二階的可能性最大，求n的值．

Answer 1

分析 （1）由莖葉圖知抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶，第二階梯水量的戶數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
（2）設(shè)Y為從全市抽取的10戶中用水量為二階的家庭戶數(shù)，依題意得Y～B（10，$\frac{3}{5}$），由此能求出抽到n戶月用水量為二階的可能性最大時(shí)的n的值．

解答 解：（1）由莖葉圖知抽取的10戶中用水量為一階的有2戶，二階的有6戶，三階的有2戶，
第二階梯水量的戶數(shù)X的可能取值為0，1，2，3，
P（X=0）=$\frac{{C}_{4}^{3}{C}_{6}^{0}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{30}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{2}{C}_{6}^{1}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{3}{10}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{6}^{2}}{{C}_{6}^{3}}$=$\frac{1}{2}$，
P（X=3）=$\frac{{C}_{4}^{0}{C}_{6}^{3}}{{C}_{10}^{3}}$=$\frac{1}{6}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2	3
P	$\frac{1}{30}$	$\frac{3}{10}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{6}$

EX=$0×\frac{1}{30}+1×\frac{3}{10}+2×\frac{1}{2}+3×\frac{1}{6}$=$\frac{9}{5}$．
（2）設(shè)Y為從全市抽取的10戶中用水量為二階的家庭戶數(shù)，依題意得Y～B（10，$\frac{3}{5}$），
∴P（Y=k）=${C}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}$，其中k=0，1，2，…，10，
設(shè)t=$\frac{P（Y=k）}{P（Y=k-1）}$=$\frac{{C}_{10}^{k}（\frac{3}{5}）^{k}（\frac{2}{5}）^{10-k}}{{C}_{10}^{k-1}（\frac{3}{5}）^{k-1}（\frac{2}{5}）^{11-k}}$=$\frac{3（11-k）}{2k}$，
若t＞1，則k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k），
若t＞1，則k＜6.6，P（Y=k-1）＜P（Y=k），
若t＜1，則k＞6.6，P（Y=k-1）＞P（Y=k），
∴當(dāng)k=6或k=7時(shí)，p（Y=k）可能最大，
$\frac{P（Y=6）}{P（Y=7）}$=$\frac{{C}_{10}^{6}（\frac{3}{5}）^{6}（\frac{2}{5}）^{4}}{{C}_{10}^{7}（\frac{3}{5}）^{7}（\frac{2}{5}）^{3}}$=$\frac{7}{6}$＞1，
∴n的取值為6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．