5.已知a,b,c∈R+,用綜合法證明:
(1)(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc;
(2)2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b)

分析 (1)運(yùn)用因式分解和均值不等式,結(jié)合不等式的可乘性,即可得證;
(2)由作差法,運(yùn)用因式分解,可得a3+b3≥a2b+b2a;同理可得b3+c3≥b2c+c2b;c3+a3≥c2a+a2c.相加即可得證.

解答 證明:(1)由a,b,c∈R+,可得
ab+a+b+1=(a+1)(b+1)≥2$\sqrt{a}$•2$\sqrt$=4$\sqrt{ab}$,
ab+ac+bc+c2=(a+c)(b+c)≥2$\sqrt{ac}$•2$\sqrt{bc}$=4c$\sqrt{ab}$,
兩式相乘可得,(ab+a+b+1)(ab+ac+bc+c2)≥16abc,
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=1,取得等號;
(2)由a,b,c>0,可得
a3+b3-a2b-b2a=a2(a-b)-b2(a-b)=(a-b)2(a+b)≥0,
即為a3+b3≥a2b+b2a;
同理可得b3+c3≥b2c+c2b;
c3+a3≥c2a+a2c.
以上三式相加可得,
2(a3+b3+c3)≥a2(b+c)+b2(a+c)+c2(a+b),
當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c,取得等號.

點(diǎn)評 本題考查不等式的證明,注意運(yùn)用綜合法證明,運(yùn)用均值不等式和作差法,以及不等式的性質(zhì),考查推理能力,屬于中檔題.

練習(xí)冊系列答案
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