Question

若函數(shù)f（x）=

1-x

ax

+?nx在[1，+∞）上為增函數(shù)．
（Ⅰ）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
（Ⅱ）若a=1，求征：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜?nn＜n+

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n-1

（ n∈N*且n≥2 ）

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=

1-x

ax

+?nx在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以在[1，+∞）上導(dǎo)數(shù)大于等于0恒成立，就可根據(jù)x的范圍求出a的范圍．
（Ⅱ）因?yàn)閒（x）=

1-x

ax

+?nx在[1，+∞）上為增函數(shù)，所以n≥2時(shí)：f（

n

n-1

）＞f（1），因?yàn)閒（1）=0，所以，n≥2時(shí)：f（

n

n-1

）＞0，就可得到

1

n

＜ln

n

n-1

，進(jìn)而證明

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=1nn成立，再利用導(dǎo)數(shù)判斷y=lnx-x在[1，+∞）上為減函數(shù)，就可得到n≥2時(shí)，ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

n

n-1

（n≥2），
進(jìn)而證明lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

．

解答：解：（Ⅰ）由已知：f'（x）=

ax-1

ax2

(a＞0)
依題意得：

ax-1

ax2

≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
∴ax-1≥0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立
∴a-1≥0即：a≥1
（Ⅱ）∵a=1
∴f（x）=

1-x

x

+lnx，
∵f（x）在[1，+∞）上為增函數(shù)，
∴n≥2時(shí)：f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=ln

n

n-1

-

1

n

＞f(1)=0
即：

1

n

＜ln

n

n-1

∴

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

＜ln

2

1

+ln

3

2

+…+ln

n

n-1

=lnn
設(shè)g（x）=lnx-x  x∈[1，+∞），
則g′(x)=

1

x

-1≤0對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴g（x）在[1+∞）為減函數(shù)，∵

n

n-1

＞1
∴n≥2時(shí)：g（

n

n-1

）=ln

n

n-1

-

n

n-1

＜g（1）=-1＜0
即：ln

n

n-1

＜

n

n-1

=1+

1

n-1

（n≥2）
∴l(xiāng)nn=ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＜(1+

1

n-1

)+(1+

1

n-2

)+…+(1+

1

1

)=n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

綜上所證：

1

2

+

1

3

+…+

1

n

＜lnn＜n+

1

2

+

1

3

+…+

1

n-1

（n∈N*且≥2）成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，以及借助函數(shù)的單調(diào)性證明不等式成立，屬于導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用．