Question

（本小題滿分12分） 如圖，在四棱錐中，,,

平面,為的中點，.

（1）求證：∥平面;

（2）求四面體的體積.

Answer 1

（1）見解析；（2）

【解析】

試題分析：1）法一： 取AD得中點M，連接EM,CM.則EM//PA

因為

所以，EM∥平面PAB （2分）

在Rt△ACD中，

所以，

而,所以MC//AB （3分）

因為

所以，平面PAB （4分）

又因為

所以，平面EMC∥平面PAB

因為EC 平面EMC，∴EC∥平面PAB （6分）

法二： 延長DC,AB,交于N點，連接PN.

因為

所以C為ND的中點. （3分）

因為E為PD的中點，所以，EC//PN

因為

∴EC∥平面PAB （6分）

2）法一：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD= .（7分）

因為PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD （8分）

又因為CD⊥AC，AC∩PA=A，所以CD⊥平面PAC ..（10分）

因為E是PD的中點，所以點E平面PAC的距離h=，

所以，四面體PACE的體積 （12分）

法二：由已知條件有;AC=2AB=2,AD=2AC=4,CD=

因為PA⊥平面ABCD，所以 .（10分）

因為E是PD的中點，所以，四面體PACE的體積 ..（12分）

考點：本題考查線面平行的判定，求棱錐的體積