Question

已知拋物線頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，又知此拋物線上一點(diǎn)A（4，m）到焦點(diǎn)的距離為6．
（1）求此拋物線的方程；
（2）若此拋物線方程與直線y=kx-2相交于不同的兩點(diǎn)A、B，且AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，求k的值．
（3）求|AB|的長．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px，（p＞0），由已知條件得4+

p

2

=6，由此能求出拋物線的方程．
（2）由

y2=8x y=kx-2

，得k²x²-（4k+8）x+4=0，由AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，得

4k+8

k2

=4，由此能求出k的值．
（3）由

y2=8x y=2x-2

，得4x²-16x+4=0，由此利用弦長公式能求出|AB|．

解答： 解：（1）由題意設(shè)拋物線方程為y²=2px，（p＞0），
其準(zhǔn)線方程為x=-

p

2

，
∵拋物線上一點(diǎn)A（4，m）到焦點(diǎn)的距離為6，
∴4+

p

2

=6，解得p=4，
∴此拋物線的方程為y²=8x．
（2）由

y2=8x y=kx-2

，消去y，得k²x²-（4k+8）x+4=0，
∵此拋物線方程與直線y=kx-2相交于不同的兩點(diǎn)A、B，
∴

k≠0 △=(4k+8)2-16k2＞0

，解得k＞-1且k≠0，
∵AB中點(diǎn)橫坐標(biāo)為2，
∴

4k+8

k2

=4，解得k=2或k=-1（舍），
∴k的值為2．
（3）由

y2=8x y=2x-2

，消去y，得4x²-16x+4=0，
△＞0，設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=4，x₁x₂=1，
∴|AB|=

(1+4)(16-4)

=2

15

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線方程的求法，考查k值的求法，考查弦長的求法，是中檔題，解題時(shí)要注意橢圓弦長公式的合理運(yùn)用．