Question

設(shè)函數(shù)f(x)＝ln x－ax，g(x)＝e^x－ax，其中a為實(shí)數(shù)．若f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，且g(x)在(1，＋∞)上有最小值，求a的取值范圍．

Answer 1

(e，＋∞)

解：令f′(x)＝－a＝<0，考慮到f(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，故a>0，進(jìn)而解得x>a^－1，即f(x)在(a^－1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)．
同理，f(x)在(0，a^－1)上是單調(diào)增函數(shù)．由于f(x)在(1，＋∞)上是單調(diào)減函數(shù)，故(1，＋∞)⊆(a^－1，＋∞)，從而a^－1≤1，即a≥1.令g′(x)＝e^x－a＝0，得x＝ln a．當(dāng)x<ln a時(shí)，g′(x)<0；當(dāng)x>ln a時(shí)，g′(x)>0.又g(x)在(1，＋∞)上有最小值，所以ln a>1，即a>e.
綜上，a的取值范圍為(e，＋∞)．