Question

4．已知2sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$（0＜θ＜π），則tanθ=-$\frac{90+5\sqrt{86}}{168}$．

Answer 1

分析 由題意和cos²θ+sin²θ=1，解方程組可得sinθ和cosθ，利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可計算得解．

解答 解：∵θ∈（0，π），2sinθ+cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$，
∴可得：cosθ=$\frac{\sqrt{2}}{3}$-2sinθ，
又∵cos²θ+sin²θ=1，
∴5sin²θ-$\frac{4\sqrt{2}}{3}$sinθ-$\frac{7}{9}$=0，解得：sinθ=$\frac{4\sqrt{2}+2\sqrt{43}}{30}$，
∴cosθ=$\frac{\sqrt{2}-2\sqrt{43}}{15}$，
∴tanθ=$\frac{sinθ}{cosθ}$=-$\frac{90+5\sqrt{86}}{168}$．
故答案為：-$\frac{90+5\sqrt{86}}{168}$．

點評 本題主要考查了同角三角函數(shù)基本關(guān)系式在三角函數(shù)化簡求值中的應(yīng)用，考查了計算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．