Question

已知向量

a

=（2+cos（2x-

π

3

），sinx-cosx），

b

=（1，sinx+cosx），函數(shù)f（x）=

a

•

b

-m（x∈R）在區(qū)間[-

π

24

，

5π

12

]上的最小值為-

2

2

．
（Ⅰ）求實數(shù)m的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所對的邊是a，b，c．若A為銳角，且滿足f（A）=1，sinB=2sinC，△ABC面積為

3

，求邊長a．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,平面向量數(shù)量積的運算,正弦定理

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）根據(jù)向量的數(shù)量積求得函數(shù)解析式，并利用兩角和公式和二倍角公式化簡，根據(jù)x的范圍和正弦函數(shù)的單調(diào)性求得函數(shù)的最小值表達(dá)式進(jìn)而求得m．
（Ⅱ）先根據(jù)f（A）=1求得A，進(jìn)而根據(jù)正弦定理判斷出b=2c，進(jìn)而利用三角形面積求得bc的值，聯(lián)立方程分別求得b和c，最后利用余弦定理求得a的值．

解答： 解：（Ⅰ）f(x)=

a

•

b

-m=2+cos(2x-

π

3

)+(sinx-cosx)(sinx+cosx)-m
=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-cos2x+2-m
=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x+2-m
=sin(2x-

π

6

)+2-m，
因為x∈[-

π

24

，

5π

12

]，
則-

π

4

≤2x-

π

6

≤

2π

3

，
函數(shù)f（x）在2x-

π

6

=-

π

4

時取得最小值-

2

2

+2-m=-

2

2

，解得m=2．         
（Ⅱ）由f（A）=1且A為銳角解得A=

π

3

，
又因為sinB=2sinC，由正弦定理得b=2c，
又因為△ABC的面積為

3

，所以S△ABC=

1

2

bcsinA=

3

即bc=4，
由①②解得b=2

2

，c=

2

，
又由余弦定理a²=b²+c²-2bccosA可得a=

6

．

點評：本題主要考查了三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用，正弦定理和余弦定理的應(yīng)用．綜合考查了學(xué)生運用三角函數(shù)知識分析和解決問題的能力．