Question

已知數列{a_n}的前n項和為S_n，且滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n，
（1）求S₁，S₂；
（2）求S_n．

Answer 1

考點：數學歸納法,數列的求和,數列遞推式

專題：等差數列與等比數列

分析：（1）直接由數列遞推式求得S₁，S₂的值；
（2）根據（1）中求得的最值猜測S_n，然后利用數學歸納法證明．

解答： 解：（1）∵數列{a_n}滿足S_n+

1

Sn

+2=a_n，
∴S1+

1

S1

+2=S1，得S1=-

1

2

；
當n≥2時，a_n=S_n-S_n-1，
∴S_n+

1

Sn

+2=S_n-S_n-1，
化為S_n（S_n-1+2）=-1．
∵S1=-

1

2

，∴S2=-

2

3

；
（2）由S1=-

1

2

，S2=-

2

3

，代入S_n（S_n-1+2）=-1得S3=-

3

4

，
…
由上猜測Sn=-

n

n+1

．
下面用數學歸納法證明：
①當n=1時，S1=-

1

2

，成立；
②假設當n=k時結論成立，即Sk=-

k

k+1

，
那么，當n=k+1時，Sk+1=-

1

Sk+2

=-

1

- k k+1 +2

=-

1

-k+2k+2 k+1

=-

k+1

(k+1)+1

．
結論成立．
總①②所述，結論對于任意的n∈N^*都成立．
∴Sn=-

n

n+1

．

點評：本題考查了數列遞推式，考查了利用數學歸納法證明與自然數有關的問題，是中檔題．