Question

9．函數(shù)f（x）=x²+ax-alnx．
（1）a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）a＞1時(shí)，求函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值．

Answer 1

分析 （1）a=1帶入函數(shù)解析式，求f′（x），根據(jù)f′（x）的符號即可求出f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）求f′（x），判斷f（x）取極值的情況，判斷出函數(shù)f（x）有極小值．所以對于f（x）在[1，a]上的最大值情況，只要比較端點(diǎn)處的值即可．令g（a）=f（a）-f（1），通過求g′（a），判斷出g（a）＞0，或＜0即可．

解答 解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²+x-lnx=2x+1-$\frac{1}{x}$=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，
解：（1）a=1時(shí)，f（x）=x²+x-lnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{（2x-1）（x+1）}{x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞$\frac{1}{2}$，令f′（x）＜0，解得：x＜$\frac{1}{2}$，
∴f（x）的減區(qū)間為（0，$\frac{1}{2}$），增區(qū)間為（$\frac{1}{2}$，+∞）；
（2）a＞1時(shí)，f（x）=x²+ax-alnx的定義域?yàn)椋?，+∞），
f′（x）=$\frac{{2x}^{2}+ax-a}{x}$，
設(shè)g（x）=2x²+ax-a，則f′（x）=$\frac{g（x）}{x}$，
設(shè)方程g（x）令2x²+ax-a=0，∵a＞1，
∴方程的根為：x₁=$\frac{-a-\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4}$＜0（舍去），x₂=$\frac{-a+\sqrt{{a}^{2}+8a}}{4}$；
∵x₁•x₂=-$\frac{a}{2}$＜0，∴x₂＞0；
∴x∈（0，x₂）時(shí)，f′（x）＜0；x∈（x₂，+∞）時(shí)，f′（x）＞0；
∴x₂是f（x）的極小值點(diǎn)；
∴f（x）在[1，a]上的最大值是f（1），f（a）中較大者；
設(shè)g（a）=f（a）-f（1）=2a²-a-alna-1；
g′（a）=4a-lna-3；
設(shè)h（a）=g′（a），則：h′（a）=4-$\frac{1}{a}$＞0；
∴h（a）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴h（a）＞h（1）=4-3＞0，即g′（a）＞0；
∴g（a）在（1，+∞）上為增函數(shù)；
∴g（a）＞g（1）=0；
∴f（a）＞f（1）；
∴函數(shù)f（x）在[1，a]上的最大值為f（a）=2a²-alna．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系，函數(shù)極值的概念，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及比較f（a）和f（1）的方法，是一道綜合題．