Question

經(jīng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，人們長期食用含高濃度甲基汞的魚類會引起汞中毒，其中羅非魚體內(nèi)汞含量比其它魚偏高．現(xiàn)從一批數(shù)量很大的羅非魚中隨機地抽出15條作樣本，經(jīng)檢測得各條魚的汞含量的莖葉圖（以小數(shù)點前的數(shù)字為莖，小數(shù)點后一位數(shù)字為葉）如圖．《中華人民共和國環(huán)境保護法》規(guī)定食品的汞含量不得超過1.0ppm．
（Ⅰ）檢查人員從這15條魚中，隨機抽出3條，求3條中恰有1條汞含量超標(biāo)的概率；
（Ⅱ）若從這批數(shù)量很大的魚中任選3條魚，記ξ表示抽到的汞含量超標(biāo)的魚的條數(shù)．以此15條魚的樣本數(shù)據(jù)來估計這批數(shù)量很大的魚的總體數(shù)據(jù)，求ξ的分布列及數(shù)學(xué)期望Eξ．

Answer 1

考點：離散型隨機變量的期望與方差,莖葉圖

專題：概率與統(tǒng)計

分析：（Ⅰ）根據(jù)古典概型概率計算公式利用排列組合知識能求出15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)的概率．
（Ⅱ）依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標(biāo)的魚的概率P(B)=

5

15

=

1

3

，ξ可能取0，1，2，3．分別求出相對應(yīng)的概率，由此能求出ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： （本小題滿分13分）
解：（Ⅰ）記“15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)”為事件A，
則P(A)=

C 1 5 C 2 10

C 3 15

=

45

91

，
∴15條魚中任選3條恰好有1條魚汞含量超標(biāo)的概率為

45

91

．…（4分）
（Ⅱ）依題意可知，這批羅非魚中汞含量超標(biāo)的魚的概率P(B)=

5

15

=

1

3

，…（5分）
ξ可能取0，1，2，3．　　　　　　　　　　　　　　　　　…（6分）
則P(ξ=0)=

C

0 3

(1-

1

3

)3=

8

27

，
P(ξ=1)=

C

1 3

×

1

3

×(1-

1

3

)2=

4

9

，
P(ξ=2)=

C

2 3

×(

1

3

)2(1-

1

3

)=

2

9

，
P(ξ=3)=

C

3 3

(

1

3

)3=

1

27

．…（10分）
∴ξ的分布列如下：

ξ	0	1	2	3
P	8 27	4 9	2 9	1 27

…（12分）
∴Eξ=0×

8

27

+1×

4

9

+2×

2

9

+3×

1

27

=1．…（13分）

點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要注意排列組合知識的合理運用．