Question

已知角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（

3

，-1）．
（1）求sin2α-tanα的值：
（2）若函數(shù)f（x）=sin2x•cosα+cos2x•sinα，求f（x）在[0，

2π

3

]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)角α的終邊經(jīng)過點(diǎn)P（

3

，-1），利用任意角的三角函數(shù)的定義求得sinα、cosα、tanα 的值，即可求得
 sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα 的值．
（2）利用三角函數(shù)的恒等變換化簡(jiǎn) 函數(shù)f（x）的解析式為sin（2x-

π

6

），令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，
求得x的范圍，再結(jié)合所給的x的范圍，即可求得函數(shù)f（x）在[0，

2π

3

]上的單調(diào)遞增區(qū)間．

解答：解：（1）∵角α的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與x軸的正半軸重合，終邊經(jīng)過點(diǎn)P（

3

，-1）．
∴x=

3

，y=-1，r=

x2+y2

=2，∴sinα=

y

r

=-

1

2

，cosα=

x

r

=

3

2

，tanα=

y

x

=-

3

3

．
∴sin2α-tanα=2sinαcosα-tanα=2×（-

1

2

）×

3

2

+

3

3

=-

3

6

．
（2）∵函數(shù)f（x）=sin2x•cosα+cos2x•sinα=

3

2

sin2x-

1

2

cos2x=sin（2x-

π

6

），
令 2kπ-

π

2

≤2x-

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

π

6

≤x≤kπ+

π

3

，k∈z．
再由 0≤x≤

2π

3

，可得函數(shù)的增區(qū)間為[0，

π

3

]

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性的應(yīng)用，屬于中檔題．