Question

已知函數(shù)f（x）=ax-1-lnx（a∈R）．
（Ⅰ）討論函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)的極值點的個數(shù)；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在x=1處取得極值，對?x∈（0，+∞），f（x）≥bx-2恒成立，求實數(shù)b的取值范圍；
（Ⅲ）當(dāng)0＜x＜y＜e²且x≠e時，試比較的大�。�

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a-．通過考察f′（x）的正負(fù)值區(qū)間判斷單調(diào)區(qū)間，得出極值點情況．
（Ⅱ）a=1，f（x）≥bx-2恒成立，即（1-b）x＞lnx-1，將b分離得出，b＜，令g（x）=，只需b小于等于g（x）的最小值即可．利用導(dǎo)數(shù)求最小值．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e²）上為減函數(shù)，g（x）＞g（y），＞，整理得＞，考慮將1-lnx除到右邊，為此分1-lnx正負(fù)分類求解．
解答：解：函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞）．f′（x）=a-．
（Ⅰ）當(dāng)a≤0時，f′（x）＜0在（0，+∞）上恒成立，函數(shù) 在（0，+∞）單調(diào)遞減，
∴在（0，+∞）上沒有極值點；
當(dāng)a＞0時，由f′（x）＞0得x＞，f′（x）＜0得x＜．f′（x）=0得x=．
∴在（0，）上遞減，在（，+∞）上遞增，即在x=處有極小值．
∴當(dāng)a≤0時在（0，+∞）上沒有極值點，
當(dāng)a＞0時，在（0，+∞）上有一個極值點．（3分）
（Ⅱ）∵函數(shù)在x=處取得極值，∴a=1，
f（x）=x-1-lnx，
∵f（x）≥bx-2，移項得（1-b）x＞lnx-1，再將b分離得出，b＜，令g（x）=，
則令g′（x）=，可知在（0，e²）上g′（x）＜0，在（e²，+∞）上g′（x）＞0，
∴g（x）在x=e²處取得極小值，也就是最小值．此時g（e²）=1-，
所以b≤1-．
（Ⅲ）由（Ⅱ）g（x）=在（0，e²）上為減函數(shù)．0＜x＜y＜e²且x≠e時，
有g(shù)（x）＞g（y），＞，整理得＞①
當(dāng)0＜x＜e時，1-lnx＞0，由①得，
當(dāng)e＜x＜e²時，1-lnx＜0，由①得
點評：本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，極值，并利用單調(diào)性比較大�。�考查了分類討論、構(gòu)造、推理計算能力．