Question

已知奇函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，f（1）=．
（1）求實(shí)數(shù)a，b的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在區(qū)間（-1，1）上為增函數(shù)；
（3）若g（x）=3^-x-f（x），證明函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上有零點(diǎn)．

Answer 1

解：（1）∵函數(shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，∴f（0）=0，得，∴b=0；
又f（1）=，∴，∴a=1．
由上可知：a=1，b=0．
（2）由（1）可知：f（x）=．
設(shè)-1＜x₁＜x₂＜1，則x₂-x₁＞0，
于是△y=f（x₂）-f（x₁）=-=．
∵-1＜x₁＜x₂＜1，∴x₁x₂＜1，∴1-x₁x₂＞0．
又x₂-x₁＞0，，，
∴△y＞0，
∴函數(shù)f（x）在（-1，1）上為增函數(shù)．
（3）∵，∴，
∴g（x）在（-1，1）上有零點(diǎn)，
故函數(shù)g（x）在（-∞，+∞）上有零點(diǎn)．
分析：（1））因?yàn)楹瘮?shù)f（x）是R上的奇函數(shù)，所以f（0）=0，可得b的值，再利用f（1）=，進(jìn)而可求出a的值．
（2）由（1）可知：f（x）=．利用增函數(shù)的定義即可證明函數(shù)f（x）是增函數(shù)．
（3）由（1）可知g（x）=，由g（-1）g（1）＜0，可判斷出函數(shù)g（x）在（-1，1）上有一個(gè)零點(diǎn)，進(jìn)而g（x）在（-∞，+∞）上有零點(diǎn)．
點(diǎn)評：本題綜合考查了函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性及函數(shù)的零點(diǎn)，充分理解以上有關(guān)知識及方法是解決問題的關(guān)鍵．