Question

已知函數(shù)f（x）=alnx-ax-3．
（1）當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）當(dāng)a=2時(shí)，設(shè)函數(shù)，若在區(qū)間[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立，求實(shí)數(shù)p的取值范圍．

Answer 1

解：（1）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=lnx-x-3，（x＞0），
∴，令f^′（x）=0，則x=1．
列表如下：
由表可知：f（x）在（0，1）上單調(diào)遞增；在（1，+∞）上單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a=2時(shí)，f（x）=2lnx-2x-3．
令F（x）=h（x）-f（x）=（p-2）x--（2lnx-2x-3）=px-2lnx-．
①當(dāng)p≤0時(shí)，≤0，，
∴在[1，e]上不存在x₀滿足F（x）＞0，即h（x₀）＞f（x₀）不成立．
②當(dāng)p＞0時(shí)，F(xiàn)^′（x）=，
∵x∈[1，e]，∴2e-2p≥0，∴F^′（x）＞0在[1，e]上恒成立，故F（x）在[1，e]上單調(diào)遞增．
∴F（x）_max=F（e）=．
故只要，解得．
所以P的取值范圍是．
分析：（1）利用導(dǎo)數(shù)即可得出其單調(diào)區(qū)間；
（2）通過(guò)對(duì)p分類討論，令F（x）=h（x）-f（x），“在區(qū)間[1，e]上至少存在一個(gè)x₀，使得h（x₀）＞f（x₀）成立”?F（x）_max＞0即可．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系及對(duì)問(wèn)題正確等價(jià)轉(zhuǎn)化是解題的關(guān)鍵．