【題目】已知函數(shù),其中

討論函數(shù)的圖象的交點個數(shù);

若函數(shù)的圖象無交點,設(shè)直線與的數(shù)的圖象分別交于點P,證明:

【答案】(1)見解析(2)見證明

【解析】

原問題等價于求解方程根的個數(shù),據(jù)此構(gòu)造函數(shù),分類討論即可確定交點的個數(shù);可知,當函數(shù)的圖象無交點時,,據(jù)此構(gòu)造函數(shù)證明題中的不等式即可.

函數(shù)的圖象交點個數(shù)即方程根的個數(shù),

設(shè),

上單調(diào)遞增,且

時,,則上單調(diào)遞減;

時,,,則上單調(diào)遞增.

所以,當時,

,即時,函數(shù)無零點,即函數(shù)的圖象無交點;

時,函數(shù)有一個零點,即函數(shù)的圖象有一個交點;

時,

,所以上分別有一個零點.

所以,當時,有兩個零點,即函數(shù)的圖象有兩個交點.

綜上所述:當時,函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為0;

時,函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為1;

時,函數(shù)的圖象的交點個數(shù)為2.

可知,當函數(shù)的圖象無交點時,

設(shè),,由得,由,

設(shè)

先證明不等式,再證明,

設(shè)

時,上單調(diào)遞增,

時,,上單調(diào)遞減,

所以,即

設(shè)

時,單調(diào)遞減:

時,,單調(diào)遞增.

所以,即

所以

因為時,中等號成立,時,中等號成立,

,所以等號不能同時成立.

所以

所以

練習冊系列答案
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