Question

已知函數(shù)f（x）=

x

x+1

，
（1）用函數(shù)單調(diào)性定義證明：f（x）在（-1，+∞）是增函數(shù)；
（2）試求f（x）=

lnx

lnx+1

在區(qū)間[2，e²]上的最大值與最小值．

Answer 1

考點：函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)單調(diào)性的定義，設(shè)x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，通過作差證明f（x₁）＜f（x₂）即可；
（2）lnx在[2，e²]上是增函數(shù)，且ln2＞0，所以根據(jù)（1）及單調(diào)性的定義，x增大時，lnx增大，f（x）增大，也就是x增大時，f（x）增大，所以說f（x）在[2，e²]上是增數(shù)，所以f（x）的最大值為f（e²），最小值為f（2），所以帶入解析式求出即可．

解答： 解：（1）證明：
設(shè)x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂，則：
f(x1)-f(x2)=

x1

x1+1

-

x2

x2+1

=

x1-x2

(x1+1)(x2+1)

；
∵x₁，x₂∈（-1，+∞），且x₁＜x₂；
∴x₁-x₂＜0，x₁+1＞0，x₂+1＞0；
∴f（x₁）＜f（x₂）；
∴f（x）在（-1，+∞）上是增函數(shù)；
（2）lnx在[2，e²]上是增函數(shù)，ln2＞0；
∴由（1）知f（x）=

lnx

lnx+1

在區(qū)間[2，e²]上是增函數(shù)；
∴f（2）=

ln2

ln2+1

是f（x）在[2，e²]上的最小值；
f（e²）=

2

3

是f（x）在[2，e²]上的最大值．

點評：考查單調(diào)性的定義，以及利用單調(diào)性的定義證明函數(shù)單調(diào)性的過程，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求最值的方法．