Question

2012年，國家為應對當前的經(jīng)濟危機，通過拉動內(nèi)需，刺激經(jīng)濟增長．某品牌汽車集團公司計劃投資20億美元發(fā)展該品牌，據(jù)專家預測，2012年銷售量為2萬輛，并從2013年起，該公司汽車的銷售量每年比上一年增加1萬輛（假設(shè)2012年為第一年），銷售利潤按照每輛每年比上一年減少10%（2012年銷售利潤為2萬美元/輛）．
（Ⅰ）第n年的銷售利潤為多少？
（Ⅱ）求到2016年年底，該公司能否實現(xiàn)盈利（即銷售利潤超過總投資，0•9⁵≈0•59）．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意，汽車的銷售量構(gòu)成首項為2萬，公差為1的等差數(shù)列{a_n}，且a_n=n+1，由此能求出第n年的銷售利潤．
（Ⅱ）設(shè)到2016年底該公司的總銷售利潤為S，則S=2（2+3×0.9¹+4×0.9²+5×0.9³+6×0.9⁴），由此利用錯位相減法能推導出到2016年該公司能實現(xiàn)盈利．

解答：解：（Ⅰ）依題意，汽車的銷售量構(gòu)成了首項為2萬，公差為1的等差數(shù)列{a_n}，
且a_n=n+1…2分
又每輛汽車的銷售利潤構(gòu)成了首項為2，公比為1-10%=0•9的等比數(shù)列{b_n}，
bn=2×0•9n-1…4分
若第n年的銷售利潤記為c_n，
則cn=an×bn=2(n+1)0•9n-1（億元）…6分
（Ⅱ）設(shè)到2016年底該公司的總銷售利潤為S，
則S=2（2+3×0.9¹+4×0.9²+5×0.9³+6×0.9⁴），①
0.9S=2（2×0.9+3×0.9²+4×0.9³+5×0.9⁴+6×0.9⁵），②
①-②，得0.1S=2（2+0.9+0.9²+0.9³+0.9⁴-6×0.9⁵）
=4+2×

0.9(1-0．94)

1-0.9

-12×0.9⁵
=22-32×0.9⁵，
∴S≈10（22-32×0.59）=31.2＞20．
∴到2016年該公式司實現(xiàn)盈利．

點評：本題考查數(shù)列在生產(chǎn)生活中的實際應用，解題時要認真審題，注意挖題設(shè)中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．