Question

8．若拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（1，0），則p=2；設(shè)M是拋物線C上的動(dòng)點(diǎn)，A（4，3），則|MA|+|MF|的最小值為5．

Answer 1

分析 根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)可得$\frac{p}{2}$=1，解得p；由拋物線的定義，將|MA|+|MF|轉(zhuǎn)化成|MA|+|PM|．由平面幾何知識(shí)，可得當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，|MA|+|PM|有最小值．由此即可得到|MA|+|MF|取得最小值，進(jìn)而得到相應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)．

解答 解：拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F（1，0），
可得$\frac{p}{2}$=1，即p=2；
由題意y²=4x得F（1，0），準(zhǔn)線方程為 x=-1，
點(diǎn)A（4，3），設(shè)點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為d=|PM|，
則由拋物線的定義得|MA|+|MF|=|MA|+|PM|，
故當(dāng)P、A、M三點(diǎn)共線時(shí)，
|MF|+|MA|取得最小值為|AP|=4-（-1）=5，
再將y=3代入拋物線y²=4x 得x=$\frac{9}{4}$，
故點(diǎn)M的坐標(biāo)是：（$\frac{9}{4}$，3）．
故答案為：2，5．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的定義和性質(zhì)的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，解答的關(guān)鍵利用是拋物線定義，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想．