Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，四邊形ABCD中，AB⊥AD，AB+AD=4，CD=

2

，∠CDA=45°．
（I）求證：平面PAB⊥平面PAD；
（II）設(shè)AB=AP．
（i）若直線PB與平面PCD所成的角為30°，求線段AB的長；
（ii）在線段AD上是否存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P，B，C，D的距離都相等？說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)線面垂直的定義可得PA⊥AB，再結(jié)合DA⊥AB得到AB⊥平面PAD，最后根據(jù)平面與平面垂直的判定定理可得平面PAB與平面PAD垂直；
（II）（i）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)已知數(shù)據(jù)設(shè)出B、P、E、C、D的坐標(biāo)，用法向量的方法結(jié)合數(shù)量積計(jì)算公式，可得線段AB的長；
（ii）先假設(shè)存在點(diǎn)G滿足條件，再通過計(jì)算GB之長，與GD長加以比較，得出GB＞GD，與已知條件GB=GD=1矛盾，故不存在滿足條件的點(diǎn)G．

解答：解：（I）證明：∵PA⊥平面ABCD，AB?平面ABCD
∴PA⊥AB
又∵AB⊥AD，PA∩AD=A
∴AB⊥平面PAD
又∵AB?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PAD
（II）（i）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)-xyz（如圖）
在平面ABCD內(nèi)，作CE∥AB交于點(diǎn)E，
則CE⊥AD                                                   
在Rt△CDE中，DE=CD•cos45°=1，
             CE=CD•sin45°=1
設(shè)AB=AP=t，則B（t，0，0），P（0，0，t）
由AB+AD=4，得AD=4-t，
所以E（0，3-t，0），C（1，3-t，0），D（0，4-t，0）

CD

=(-1，1，0)，

PD

=(0，4-t，-t)
設(shè)平面PCD的法向量為

n

=（x，y，z）
由

n

⊥

CD

，

n

⊥

PD

，得

-x+y=0 (4-t)y-tz=0

取x=t，得平面PCD的一個(gè)法向量為

n

=(t，t，4-t)
又

PB

=(t，0，-t)，故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得
cos（90°-30°）=

1

2

=

| n • PB |

|n |•| PB |

即

|2t2-4t|

t2+0+(-t)2 t2+t2+(4-t)2

=

1

2

解得t=

4

5

或t=4（舍去，因?yàn)锳D=4-t＞0）
所以AB=

4

5

（ii）假設(shè)在線段AD上存在一個(gè)點(diǎn)G到P、B、C、D的距離都相等
由GC=GD，得∠GCD=∠GDC=45°                                  
從而∠CGD=90°，即CG⊥AD
所以GD=CD•cos45°=1
設(shè)AB=λ，則AD=4-λ，AG=AD-GD=3-λ
在Rt△ABG中，
GB=

AB2+AG2

=

λ2+(3-λ)2

=

2(λ - 3 2 )2+ 9 2

＞1
這GB=GD與矛盾．
所以在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到B、C、D的距離都相等．
從而，在線段AD上不存在一個(gè)點(diǎn)G，使得點(diǎn)G到點(diǎn)P、B、C、D的距離都相等．

點(diǎn)評：本小題主要考查空間中的線面關(guān)系，考查面面垂直的判定及線面角的計(jì)算，考查空間想象能力、推理論證能力和運(yùn)算能力，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．