Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（

3

，

1

2

），點(diǎn)P在橢圓C上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的最大值為120°．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（x₀，y₀）（x₀≠0）作圓x²+y²=1的兩條切線，分別切于A，B兩點(diǎn)，直線AB與橢圓C交于M，N兩點(diǎn)，求△OMN面積的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問(wèn)題

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出

3 a2 + 1 4b2 =1 a=2b

，由此能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．
（2）設(shè)MN：y=kx+g，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+g

，得（4k²+1）x²+8kgx+4g²-4=0，由此利用橢圓弦長(zhǎng)公式能求出△OMN面積的最大值．

解答： 解：（1）∵橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)M（

3

，

1

2

），
點(diǎn)P在橢圓C上，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為其左、右焦點(diǎn)，∠F₁PF₂的最大值為120°，
∴

3 a2 + 1 4b2 =1 a=2b

，解得a=2，b=1，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為

x2

4

+y2=1．
（2）設(shè)MN：y=kx+g，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）
聯(lián)立

x2 4 +y2=1 y=kx+g

，得（4k²+1）x²+8kgx+4g²-4=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．則x1+x2=-

8kg

4k2+1

，x1x2=

4g2-4

4k2+1

，
△=（8kg）²-4（4g²-4）（4k²+1）＞0≥4k²+1＞g²
∵|MN|=

1+k2

|x₁-x₂|
 MN到原點(diǎn)距離d=|g|

1+k2

，
g²=（

1

y0

）²，（y₀）²=

1

g2

，
k²=（-

x0

y0

）²=（x₀）²g²，（x₀）²=（

k

g

）²，
∴（

k

g

）²+

4

g2

=4，∴k²+4=4g²
S_△OMN=

1

2

d|MN|=

1

2

|g||x₁-x₂|
∴S△OMN2=

1

4

g2[（-

8kg

4k2

+1）²-

4(4g2-4)

4k2+1

]，
∵令

1

4k2+1

=t，0＜t＜1
∴（1+3t）（1-t）≤

3

4

，
當(dāng)且僅當(dāng)t=

1

3

，即

1

1+4k2

=

1

3

，即k²=

1

2

時(shí)等號(hào)成立，
∴S_△OMN≤

3

2

×

4 3

=1．
∴△OMN面積的最大值為1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓弦長(zhǎng)公式的合理運(yùn)用．