【題目】已知函數(shù)（）.

（1）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍

（2）證明：

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

（1）令，得到，令，，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即可求解；

（2）要證明，只需，令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的的單調(diào)性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

令，則，

記，，

則，令，得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

所以有最小值，且為，

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，

所以要使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則函數(shù)的圖象與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，

則，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為.

（2）由（1）知，函數(shù)有最小值為，可得，

當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

因此要證明，

即只需要證明，

記，則，

令，得.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以，

即恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，

所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】如圖1，在梯形中，，，，過，分別作的垂線，垂足分別為，，已知，，將梯形沿，同側(cè)折起，使得平面平面，平面平面，得到圖2.

（1）證明：平面；

（2）求三棱錐的體積.

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【題目】下圖是某省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診病例變化曲線圖.

若該省從1月21日至2月24日的新冠肺炎每日新增確診人數(shù)按日期順序排列構(gòu)成數(shù)列，的前n項(xiàng)和為，則下列說法中正確的是（ ）

A.數(shù)列是遞增數(shù)列B.數(shù)列是遞增數(shù)列

C.數(shù)列的最大項(xiàng)是D.數(shù)列的最大項(xiàng)是

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A的坐標(biāo)為(2,0),B是第一象限內(nèi)的一點(diǎn),以C為圓心的圓經(jīng)過OAB三點(diǎn),且圓C在點(diǎn)A,B處的切線相交于P,若P的坐標(biāo)為(4,2),則直線PB的方程為_____.

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【題目】在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A1,A2,…,An,…B1,B2,…,Bn,…均在拋物線x=y2上,線段AnBn與x軸的交點(diǎn)為Hn.將△OA1B1,△H1A2B2,…,△HnAn+1Bn+1,…的面積分別記為S1,S2,…,Sn+1,….已知上述三角形均為等腰直角三角形,且它們的頂角分別為O,H1,…,Hn,….

（1）求S1和S2的值;

（2）證明:n≤sn≤n2.

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【題目】如圖，已知是橢圓的左、右焦點(diǎn)，橢圓的短軸長(zhǎng)為，點(diǎn)是橢圓上的一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)（不過點(diǎn)），且的周長(zhǎng)的最大值為8.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若過焦點(diǎn)，在橢圓上取兩點(diǎn)，連接，與軸的交點(diǎn)分別為，過點(diǎn)作橢圓的切線，當(dāng)四邊形為菱形時(shí)，證明：直線.

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【題目】已知函數(shù)（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），.

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極小值；

（2）若當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】定義：若函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是奇函數(shù)，則稱函數(shù)是“雙奇函數(shù)”．函數(shù)．

（1）若函數(shù)是“雙奇函數(shù)”，求實(shí)數(shù)的值；

（2）若時(shí)，討論函數(shù)的極值點(diǎn)．

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【題目】某種植物感染病毒極易導(dǎo)致死亡，某生物研究所為此推出了一種抗病毒的制劑，現(xiàn)對(duì)株感染了病毒的該植株樣本進(jìn)行噴霧試驗(yàn)測(cè)試藥效.測(cè)試結(jié)果分“植株死亡”和“植株存活”兩個(gè)結(jié)果進(jìn)行統(tǒng)計(jì)；并對(duì)植株吸收制劑的量(單位：)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)規(guī)定：植株吸收在（包括）以上為“足量”，否則為“不足量”.現(xiàn)對(duì)該株植株樣本進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其中“植株存活”的株，對(duì)制劑吸收量統(tǒng)計(jì)得下表.已知“植株存活”但“制劑吸收不足量”的植株共株.

編號(hào)

吸收量

（1）完成以下列聯(lián)表，并判斷是否可以在犯錯(cuò)誤概率不超過的前提下，認(rèn)為“植株的存活”與“制劑吸收足量”有關(guān)？

吸收足量

吸收不足量

合計(jì)

植株存活

植株死亡

合計(jì)

（2）若在該樣本“制劑吸收不足量”的植株中隨機(jī)抽取株，求這株中恰有株“植株存活”的概率.

參考數(shù)據(jù)：

，其中

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