Question

已知二次函數(shù)y=f（x）滿(mǎn)足f（0）=1且有f（x+1）=f（x）+2x．
（1）求f（x）；
（2）設(shè)g（x）=f（x）+mx在[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)出二次函數(shù)的解析式由f（0）=1可求c=1，再由f（x+1）=f（x）+2x構(gòu)造方程組可求a、b的值，可得答案．
（2）函數(shù)g（x）=f（x）+mx=x²-（1-m）x+1的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=

1-m

2

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，若g（x）在[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，則

1-m

2

≤-1，或

1-m

2

≥2，進(jìn)而可得實(shí)數(shù)m的取值范圍．

解答： 解：（1）設(shè)y=f（x）=ax²+bx+c，
∵f（0）=1，f（x+1）=f（x）+2x，
∴c=1且a（x+1）²+b（x+1）+c=（ax²+bx+c）+2x，
∴2a=2，a+b=0，
解得a=1，b=-1，
函數(shù)f（x）的表達(dá)式為f（x）=x²-x+1．
（2）∵g（x）=f（x）+mx=x²-（1-m）x+1的圖象是開(kāi)口朝上，且以直線(xiàn)x=

1-m

2

為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線(xiàn)，
若g（x）在[-1，2]上是單調(diào)函數(shù)，
則

1-m

2

≤-1，或

1-m

2

≥2，
解得：m∈（-∞，-3]∪[3，+∞）

點(diǎn)評(píng)：本題考查利用待定系數(shù)法求函數(shù)模型已知的函數(shù)解析式，二次函數(shù)的單調(diào)性，難度不大，屬于基礎(chǔ)題．