Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（1）如果函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，求實數(shù)b的取值范圍；
（2）求證對任意的n∈N^*，不等式ln（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）由于函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值?f′（x）=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個不等實根?g（x）=2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根?△＞0且g（-1）＞0，解出即可．
（2）對于函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1），構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1），利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性即可得出．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f（x）在定義域內(nèi)既有極大值又有極小值，
∴f′（x）=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
即2x²+2x+b=0在（-1，+∞）有兩個不等實根，
設(shè)g（x）=2x²+2x+b，
則△=4-8b＞0且g（-1）＞0，0＜b＜

1

2

．
（2）對于函數(shù)f（x）=x²-ln（x+1），
令函數(shù)h（x）=x³-f（x）=x³-x²+ln（x+1）
則h′（x）=3x²-2x+

1

x+1

=

3x3+(x-1)2

x+1

，
當x∈[0，+∞）時，h′（x）＞0，
∴函數(shù)h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
又h（0）=0，∴x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0，
即x²＜x³+ln（x+1）恒成立．
取x=

1

n

∈（0，+∞），則有l(wèi)n（

1

n

+1）＞

1

n2

-

1

n3

恒成立．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性極值，考查了構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)得出函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．