Question

19．已知橢圓G：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的焦點和一個頂點在圓x²+y²=4上．
（1）求橢圓的方程；
（2）已知點P（-3，2），若斜率為1的直線l與橢圓G相交于A、B兩點，等腰三角形ABP以AB為底邊，求直線l的方程．

Answer 1

分析 （1）設(shè)橢圓G的右焦點為F（c，0），由題意可得：b=c，且b²+c²=8，由此能求出橢圓G的方程；
（2）設(shè)斜率為1的直線l的方程為y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，得：3x²+4mx+2m²-8=0，由此利用根的判別式、韋達(dá)定理，結(jié)合已知條件能求出直線l的方程．

解答 解：（1）設(shè)橢圓G的右焦點為F（c，0），
由題意可得：b=c，且b²+c²=8，∴b²=c²=4，
故a²=b²+c²=8，
∴橢圓G的方程為$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$；
（2）設(shè)斜率為1的直線l的方程為y=x+m，代入$\frac{{x}^{2}}{8}+\frac{{y}^{2}}{4}=1$中，
化簡得：3x²+4mx+2m²-8=0，①
∵直線l與橢圓G相交于A，B兩點，
∴△=16m²-12（2m²-8）＞0，
解得-2$\sqrt{3}$＜m＜$2\sqrt{3}$，②
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{4m}{3}$，${x}_{1}{x}_{2}=\frac{2{m}^{2}-8}{3}$，③
于是AB的中點M（x₀，y₀）滿足${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{2m}{3}$，${y}_{0}={x}_{0}+m=\frac{m}{3}$．
已知點P（-3，2），若等腰三角形ABP以AB為底，
則k_PM=-1，即$\frac{{y}_{0}-2}{{x}_{0}+3}$=-1，④，
將M（-$\frac{2m}{3}，\frac{m}{3}$）代入④式，
得m=3∈（-2$\sqrt{3}$，2$\sqrt{3}$）滿足②．
此時直線l的方程為y=x+3．

點評 本題考查橢圓方程的求法，考查橢圓的簡單性質(zhì)，體現(xiàn)了“設(shè)而不求”的解題思想方法，是中檔題．