Question

已知圓C經(jīng)過A（1，6），又經(jīng)過A（1，6）與B（5，-2）的中點，且圓心在直線4x-2y=0上．
（1）求圓C的圓心和半徑，并寫出圓C的方程；
（2）若直線l經(jīng)過點P（-1，3）且與圓C相切，求直線l的方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)圓心在4x-2y=0上，設圓心坐標為（a，2a），根據(jù)圓C過A（1，6），及過A（1，6）與B（5，-2）的中點（3，2），利用兩點間的距離公式列出關于a的方程，求出方程的解得到a的值，確定出圓心坐標與半徑r，寫出圓C的方程即可；
（2）設直線l斜率為k，根據(jù)直線l過P點，寫出直線l方程，根據(jù)直線l與圓相切，得到圓心到直線l的距離等于圓的半徑，利用點到直線的距離公式列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可確定出直線l方程．
解答：解：（1）由圓心在4x-2y=0，設圓心坐標為（a，2a），
∵圓C過A（1，6），及過A（1，6）與B（5，-2）的中點（3，2），
∴=，
兩邊平方化簡得：-14a+13=-26a+37，即12a=24，
解得：a=2，
∴圓C的圓心為（2，4），半徑r==，
則圓C的方程為（x-2）²+（y-4）²=5；
（2）設直線l的斜率為k，
∵直線l經(jīng)過點P（-1，3），
∴直線l可寫為y-3=k（x+1），即kx-y+k+3=0，
∵直線l與圓C相切，∴圓心（2，4）到kx-y+k+3=0的距離等于r=，
∴=，
兩邊平方化簡得2k²-3k-2=0，分解因式得（2k+1）（k-2）=0，
解得：k=-或k=2，
則所求直線l方程為x+2y-5=0或2x-y+5=0．
點評：此題考查了直線與圓的位置關系，圓的標準方程，兩點間的距離公式，以及點到直線的距離公式，當直線與圓相切時，圓心到切線的距離等于圓的半徑，熟練掌握此性質(zhì)是解本題的關鍵．