Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x³-ax+b．
（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=2時，求函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（Ⅱ）當(dāng)b=2時，若f（x）≥0對任意的x∈[0，+∞]都成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）若f（x）≥0對任意的x∈[0，2]均成立，求a-b的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=2時，可得f（x），f′（x），而切線斜率k=f′（1），易求f（1），從而可得切點(diǎn)坐標(biāo)，由點(diǎn)斜式可得切線方程；
（Ⅱ）分x=0，x＞0兩種情況討論：x=0時，x³-ax+2≥0成立，此時a∈R；當(dāng)x＞0時可分離出參數(shù)a后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值解決，利用導(dǎo)數(shù)可求得函數(shù)的最值，求得a的范圍；兩者取交集可得結(jié)論；
（Ⅲ）f（x）≥0對任意的x∈[0，2]均成立，等價于f（x）_min≥0，分a≤0，0＜a＜12，a≥12三種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)可求得f（x）_min，由f（x）_min≥0可得b的不等式，進(jìn)而可求得a-b的范圍，得到其最大值；

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)a=1，b=2時，f（x）=x³-x+2，f′（x）=3x²-1，
則切線斜率k=f′（1）=2，
f（1）=1-1+2=2，則切點(diǎn)為（1，2），
∴函數(shù)f（x）在（1，f（1））處的切線方程為y-2=2（x-1），即y=2x；
（Ⅱ）當(dāng)b=2時，f（x）≥0對任意的x∈[0，+∞]都成立，即x³-ax+2≥0在[0，+∞）上恒成立，
（1）當(dāng)x=0時，x³-ax+2≥0成立，此時a∈R；
（2）當(dāng)x＞0時，x³-ax+2≥0恒成立化為a≤x²+

2

x

恒成立，等價于a≤(x2+

2

x

)min，
設(shè)g（x）=x²+

2

x

，則g′（x）=2x-

2

x2

=

2x3-2

x2

，
當(dāng)0＜x＜1時g′（x）＜0，g（x）在（0，1）上遞減，
當(dāng)x＞1時，g′（x）＞0，g（x）在（1+∞）上遞增，
∴g（x）_min=g（1）=3，
∴a≤3；
綜上所述，可得a≤3；
（3）f（x）≥0對任意的x∈[0，2]均成立，等價于f（x）_min≥0，
f′（x）=3x²-a，
①當(dāng)a≤0時，f（x）在[0，2]上遞增，
f（x）_min=f（0）=b≥0，
∴a-b≤0；
②當(dāng)0＜a＜12時，若0≤x＜

a 3

，f′（x）＜0，f（x）在[0，

a 3

]上遞減，若

a 3

＜x≤2，f′（x）＞0，f（x）在[

a 3

，2]上遞增，
∴f(x)min=f(

a 3

)=-

2a

3

a 3

+b≥0，
∴a-b≤a-

2a

3

a 3

，
令

a 3

=t（0＜t＜2），則a-

2a

3

a 3

=3t²-2t³，
設(shè)h（t）=3t²-2t³，h′（t）=6t-6t²，
∴h（t）在（0，1）上遞增，在（1，2）上遞減，
h（t）_min=h（1）=1，
∴a-b最大值是1；
③當(dāng)a≥12時，f′（x）≤0，f（x）在[0，2]上遞減，
∴f（x）_min=f（2）=8-2a+b≥0，
則2a-b≤8，
∴a-b≤8-a≤-4，
∴a-b≤-4；
綜上所述，a-b的最大值是1．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值，考查分類討論思想，考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識分析解決問題的能力，綜合性較強(qiáng)，難度較大．