Question

9．已知函數(shù)$f（x）={log_{\sqrt{2}}}$x，且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列．
（1）求證：數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列；
（2）設(shè)b_n=a_n•f（a_n），求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）由函數(shù)$f（x）={log_{\sqrt{2}}}$x，且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，可得f（a_n）=2n=$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$，a_n=2ⁿ，即可證明．
（2）由（1）可得：a_n=2ⁿ．可得：b_n=a_n•f（a_n）=n×2ⁿ⁺¹，再利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 （1）證明：∵函數(shù)$f（x）={log_{\sqrt{2}}}$x，且數(shù)列{f（a_n）}是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，
∴f（a_n）=2+2（n-1）=2n=$lo{g}_{\sqrt{2}}{a}_{n}$，∴a_n=$（\sqrt{2}）^{2n}$=2ⁿ=2×2^n-1，
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)與公比都為2．
（2）解：由（1）可得：a_n=2ⁿ．
b_n=a_n•f（a_n）=2ⁿ$•lo{g}_{\sqrt{2}}{2}^{n}$=2ⁿ×2n=n×2ⁿ⁺¹，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=2²+2×2³+…+n×2ⁿ⁺¹，
2T_n=2³+2×2⁴+…+（n-1）×2ⁿ⁺¹+n×2ⁿ⁺²，
∴-T_n=2²+2³+…+2ⁿ⁺¹-n×2ⁿ⁺²=$\frac{4（{2}^{n}-1）}{2-1}$-n×2ⁿ⁺²=（1-n）×2ⁿ⁺²-4，
∴T_n=（n-1）×2ⁿ⁺²+4．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．