Question

已知定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x＞0時(shí)，f（x）＞1，②?x、y∈R，f（x+y）=f（x） f（y）．?dāng)?shù)列{a_n}滿足①a₁=1，②f（a_n+1）=f（a_n） f（1），（n∈N^*），…+（-1）ⁿ，則T₁₀₀等于（ ）
A．4900
B．-4900
C．5050
D．-5050

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)抽象函數(shù)的性質(zhì)，證明出函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．從而f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，判斷出數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a_n=n．再利用分組求和法求和即可．
解答：解：對(duì)任意x，y∈R，恒有f（x+y）=f（x）•f（y），
可令x=1，y=0 可得 f（0+1）=f（0）．f（1）
因?yàn)閤＞0時(shí)，有0＜f（x）＜1，故f（1）＞0
所以 f（0）=1
再取x=-y，可得f（0）=f（-y+y）=f（-y）•f（y）=1
所以f（-y）=，同理以f（-x）=
當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0，根據(jù)已知條件得f（-x）＞1，即＞1，
變形得0＜f（x）＜1．
綜上所述任意x∈R，f（x）＞0．
設(shè)任意的x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂，則x₂-x₁＞0，f（x₂-x₁）=f（x₂）f（-x₁）=＞1，f（x₂）＞f（x₁）
所以函數(shù)f（x）在R上是單調(diào)遞增函數(shù)．
f（a_n+1）=f（a_n） f（1）=f（a_n+1），所以a_n+1=a_n+1，數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，通項(xiàng)公式為a_n=n．
=3+7+…+199==5050．
故選C．
點(diǎn)評(píng)：本題考查抽象函數(shù)性質(zhì)的證明與應(yīng)用，數(shù)列求和．考查推理論證、計(jì)算化簡(jiǎn)能力．