Question

設數列{a_n}的前n項和S_n=

n(n+1)(4n-1)

6

，n∈N^*
（1）求a₁的值．
（2）求數列{a_n}的通項公式．
（3）證明：對一切正整數n，有

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

5

4

．

Answer 1

考點：數列與不等式的綜合

專題：點列、遞歸數列與數學歸納法

分析：（1）令n=1直接計算即可；
（2）根據S_n與a_n的關系，即可求數列{a_n}的通項公式；
（3）利用

n2

an2

=

n2

n2(2n-1)2

＜

1

(2n-1)(2n-3)

并項即可計算．

解答： 解：（1）a₁=S₁=

1×2×3

6

=1；

（2）a_n=S_n-S_n-1
=

n(n+1)(4n-1)

6

-

(n-1)n(4n-5)

6

=n（2n-1）；
顯然，當n=1時，a₁=1×（2×1-1）=1，
故數列{a_n}的通項公式為a_n=n（2n-1）．

（3）根據（2）可得：
a_n=n（2n-1），
故

n2

an2

=

n2

n2(2n-1)2

=

1

(2n-1)2

＜

1

(2n-1)(2n-3)

=

1

2

(

1

2n-3

-

1

2n-1

)，
所以

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

1

2

(1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

2n-3

-

1

2n-1

)
=

1

2

(1-

1

2n-1

)
∵當n=1時，原式=1＜

5

4

，
 當n=2時，原式=

1

3

，
∴原式＜

5

4

，
故對一切正整數n，有

1

a12

+

4

a22

+…

n2

an2

＜

5

4

．

點評：本題主要考查數列的通項公式，是數列與不等式相結合的綜合題，難度較大，考查了分析問題與解決問題的能力．