Question

19．已知點(diǎn)A，B，P（2，4）都在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+b上，且直線PA，PB的傾斜角互補(bǔ)．
（1）證明：直線AB的斜率為定值；
（2）當(dāng)直線AB在y軸上截距大于零時(shí)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)出A、B坐標(biāo)，利用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，求出A、B橫坐標(biāo)之差，縱坐標(biāo)之差，從而求出AB斜率．
（2）設(shè)出AB直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，運(yùn)用根與系數(shù)的關(guān)系求AB長(zhǎng)度，計(jì)算P到AB的距離，計(jì)算△PAB面積，使用基本不等式求最大值．

解答 （1）證明：P（2，4）都在拋物線y=-$\frac{1}{2}$x²+b，則b=6．
設(shè)PA的斜率為k，則直線PA的方程是y-4=k（x-2）．
代入y=-$\frac{1}{2}$x²+6并整理得x²+2kx-4（k+1）=0此時(shí)方程應(yīng)有根x_A及2，
由韋達(dá)定理得：2x_A=-4（k+1），∴x_A=-2（k+1）．
∴y_A=k（x_A-2）+4=-k²-4k+4．∴A（-2（k+1），-k²-4k+4）．
由于PA與PB的傾斜角互補(bǔ)，故PB的斜率為-k．
同理可得B（-2（-k+1），-k²+4k+4）
∴k_AB=2即直線AB的斜率為定值．
（2）解：∵AB的方程為y=2x+m，m＞0．代入方程y=-$\frac{1}{2}$x²+6消去y得$\frac{1}{2}$x²+2x+m-6=0．
|AB|=2$\sqrt{1+4}$•$\sqrt{4-2（m-6）}$=2$\sqrt{5（16-2m）}$．
∴S=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$•2$\sqrt{5（16-2m）}$•$\frac{m}{\sqrt{5}}$=$\sqrt{（16-2m）•m•m}$≤$\sqrt{（\frac{16-2m+m+m}{3}）^{3}}$=$\frac{64\sqrt{3}}{9}$．
此時(shí)方程為y=2x+$\frac{16}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查直線、拋物線等基本知識(shí)，考查運(yùn)用解析幾何的方法分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．