Question

4．已知函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+x．
（1）計(jì)算f（x）在（1，1）處的切線方程；
（2）求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 （1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得切線方程；
（2）求得函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間，由導(dǎo)數(shù)小于0，可得減區(qū)間，注意定義域．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=lnx+ln（2-x）+x的導(dǎo)數(shù)為
f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+1，
則f（x）在（1，1）處的切線斜率為k=1-1+1=1，
即有f（x）在（1，1）處的切線方程為y-1=x-1，
即為y=x；
（2）由f′（x）=$\frac{1}{x}$-$\frac{1}{2-x}$+1=$\frac{2-{x}^{2}}{x（2-x）}$，（0＜x＜2），
f′（x）＞0，可得0＜x＜$\sqrt{2}$；
f′（x）＜0，可得$\sqrt{2}$＜x＜2．
可得f（x）的增區(qū)間為（0，$\sqrt{2}$），減區(qū)間為（$\sqrt{2}$，2）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線方程和單調(diào)區(qū)間，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義和不等式的解法，注意函數(shù)的定義域，屬于中檔題和易錯(cuò)題．