【題目】如圖，等腰直角中是直角，平面平面，，，.

（1）求證；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

【答案】（1）詳見解析；（2）.

【解析】

（1）由及為直角可得到，結(jié)合已知條件命題得證。

（2）作，連結(jié).由（1）得： ，作，再證得：平面，則即為所求線面角. 解三角形BFH即可。

解：（1）證明：直角中∠B是直角，即，

， ，

，，

又，.

（2）方法一：作，連結(jié).

由（1）知平面，

得到，又，所以平面.

又因?yàn)?/span>平面，所以平面 平面.

作于點(diǎn)H，易得平面，

則即為所求線面角.

設(shè)，由已知得，，

，，

.

則直線與平面所成角的正弦值為.

方法二：建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?/span>.

由已知，，，，

，

，，

設(shè)平面的法向量為，則有

，令，則.

即.

所以直線與平面所成角的正弦值.

方法三（等積法）：設(shè)2AF=AB=BE=2，為等腰三角形，AB=BC=2

∠FAB=60°，2AF=AB ，又AF//BE，.

由（1）知，，

，，

，，

又，則有.

令到平面距離為，有，

故所求線面角.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，，且．

（1）求A；

（2）求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】隨著中國經(jīng)濟(jì)的加速騰飛，現(xiàn)在手有余錢的中國家庭數(shù)量越來越多，在房價(jià)居高不下股市動(dòng)蕩不定的形勢下，為了讓自己的財(cái)富不縮水，很多家庭選擇了投資理財(cái).為了了解居民購買理財(cái)產(chǎn)品的情況，理財(cái)公司抽樣調(diào)查了該市2018年10戶家庭的年收入和年購買理財(cái)產(chǎn)品支出的情況，統(tǒng)計(jì)資料如下表:

年收入x(萬元)

20

40

40

60

60

60

70

70

80

100

年理財(cái)產(chǎn)品支出y(萬元)

9

14

16

20

21

19

18

21

22

23

（1）由該樣本的散點(diǎn)圖可知y與x具有線性相關(guān)關(guān)系，請求出回歸方程；（求時(shí)利用的準(zhǔn)確值，，的最終結(jié)果精確到0.01）

（2）若某家庭年收入為120萬元，預(yù)測某年購買理財(cái)產(chǎn)品的支出.（參考數(shù)據(jù):，，，）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某商場為了了解顧客的購物信息，隨機(jī)在商場收集了位顧客購物的相關(guān)數(shù)據(jù)如下表：

一次購物款（單位：元）

顧客人數(shù)

統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示位顧客中購物款不低于元的顧客占，該商場每日大約有名顧客，為了增加商場銷售額度，對一次購物不低于元的顧客發(fā)放紀(jì)念品.

（Ⅰ）試確定， 的值，并估計(jì)每日應(yīng)準(zhǔn)備紀(jì)念品的數(shù)量；

（Ⅱ）現(xiàn)有人前去該商場購物，求獲得紀(jì)念品的數(shù)量的分布列與數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，底面為正方形，側(cè)面為正三角形，側(cè)面底面，為的中點(diǎn).

（1）求證：平面；

（2）求二面角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】對于定義域?yàn)?/span>D的函數(shù)f（x），若存在區(qū)間[m，n]D，同時(shí)滿足下列條件：①f（x）在[m，n]上是單調(diào)的；②當(dāng)定義域是[m，n]時(shí)，f（x）的值域也是[m，n]，則稱[m，n]為該函數(shù)的“和諧區(qū)間”.下列函數(shù)存在“和諧區(qū)間”的有（ ）

A.B.C.D.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】目前，新型冠狀病毒感染的肺炎疫情防控形勢嚴(yán)峻.口罩的市場需求一直居高不下.為了保障防疫物資供應(yīng)，濰坊的口罩企業(yè)加足馬力保生產(chǎn)，上演了一場與時(shí)間賽跑的“防疫阻擊戰(zhàn)”.濰坊市坊子區(qū)一家口罩生產(chǎn)企業(yè)擁有1000平方米潔凈車間，配備國際領(lǐng)先的自動(dòng)化生產(chǎn)線5條，技術(shù)骨干20余人.自疫情發(fā)生以來，該企業(yè)積極響應(yīng)政府號召，保障每天生產(chǎn)一次性無紡布健康防護(hù)口罩5萬只左右.現(xiàn)從生產(chǎn)的大量口罩中抽取了100只作為樣本，檢測一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，該項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[20,40）內(nèi)的產(chǎn)品視為合格品，否則視為不合格品，如圖是樣本的頻率分布直方圖.

（1）求圖中實(shí)數(shù)a的值；

（2）企業(yè)將不合格品全部銷毀后，對合格品進(jìn)行等級細(xì)分：質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[25,30）內(nèi)的定為一等品，每件售價(jià)2.4元；質(zhì)量指標(biāo)值落在區(qū)間[20,25）或[30,35）內(nèi)的定為二等品，每件售價(jià)為1.8元；其他的合格品定為三等品，每件售價(jià)為1.2元.

用該組樣本中一等品、二等品、三等品各自在合格品中的頻率代替從所有產(chǎn)品中抽到一件相應(yīng)等級產(chǎn)品的概率.若有一名顧客隨機(jī)購買2只口罩支付的費(fèi)用為X（單位：元）.求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知點(diǎn)為圓的圓心， 是圓上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)在圓的半徑上，且有點(diǎn)和上的點(diǎn)，滿足， .

（1）當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)的軌跡方程；

（2）若斜率為的直線與圓相切，直線與（1）中所求點(diǎn)的軌跡交于不同的兩點(diǎn)， ， 是坐標(biāo)原點(diǎn)，且時(shí)，求的取值范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x（年）和所支出的維修費(fèi)用y萬元有如下的統(tǒng)計(jì)資料：

x

2

3

4

5

6

y

2.2

3.8

5.5

6.5

7.0

（1）畫出散點(diǎn)圖并判斷是否線性相關(guān)；

（2）如果線性相關(guān)，求線性回歸方程；

（3）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？

附注：①參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為；

②參考數(shù)據(jù)：

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