已知:函數(shù)

(I)證明:f(x)與f-1(x)的交點(diǎn)必在在直線y=x上.

(II)是否存在一對(duì)反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上,若存在,請(qǐng)舉例說(shuō)明;若不存,請(qǐng)說(shuō)明理由.

(III)研究(I)和(II),能否得出一般性的結(jié)論,并進(jìn)行證明.

答案:
解析:

  解答:(I)y=2x+1與其反函數(shù)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-1),∴f(x)與f-1(x)的交點(diǎn)必在在直線y=x上.

  (II)與其反函數(shù)y=x2-1,(x≤0)的交點(diǎn)坐標(biāo)為(),(-1,0),(0,-1),∴原函數(shù)圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn)不一定在直線y=x上.

  (III)研究(I)和(II)能得出:如果函數(shù)f(x)是增函數(shù),并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定在直線y=x上;

  如果函數(shù)f(x)是減函數(shù),并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)不一定在直線y=x上.

  證明:設(shè)點(diǎn)(a,b)是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的任一交點(diǎn),由于原函數(shù)與反函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱,則點(diǎn)(b,a)也是f(x)的圖象與其反函數(shù)圖象的交點(diǎn),且有b=f(a),a=f(b)

  若a=b時(shí),交點(diǎn)顯然在直線y=x上.

  若a<b,且f(x)是增函數(shù)時(shí),有f(b)<f(a),從而有b<a,矛盾;若b<a且f(x)是增函數(shù)時(shí),有f(a)<f(b),從而有a<b,矛盾.

  若a<b,且f(x)是減函數(shù),有f(b)<f(a),從而a<b成立,此時(shí)交點(diǎn)不在直線y=x上;同理,b<a且f(x)是減函數(shù)時(shí),交點(diǎn)也不在直線y=x上.

  綜上所述,如果函數(shù)f(x)是增函數(shù),并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)一定在直線y=x上;

  如果函數(shù)f(x)是減函數(shù),并且f(x)的圖象與其反函數(shù)的圖象有交點(diǎn),則交點(diǎn)不一定在直線y=x上.


提示:

  分析:?jiǎn)栴}(I)易于解答,而問(wèn)題(II)解答必須認(rèn)真思考f(x)的性質(zhì),從性質(zhì)的差異去尋求特例.問(wèn)題(III)的證明著眼于函數(shù)單調(diào)性的差異解答.

  說(shuō)明:試題緊扣江蘇新考綱,突顯解決問(wèn)題的探索性和研究性.試題難度較大.


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