Question

20．已知函數(shù)f（x）=x²-ax（a≠0），g（x）=lnx，f（x）圖象與x軸交于點M（M異于原點），f（x）在M處的切線為l₁，g（x-1）圖象與x軸交于點N且在該點處的切線為l₂，并且l₁與l₂平行．
（Ⅰ）求f（2）的值；
（Ⅱ）已知實數(shù)t∈R，求函數(shù)y=f[xg（x）+t]，x∈[1，e]的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由題意求兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由l₁與l₂平行可知2a-a=1，從而解出a；
（Ⅱ）代入化簡可得y=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，令u=xlnx，0≤u≤e可化為y=u²+（2t-1）u+t²-t，從而利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最小值．

解答 解：（Ⅰ）由題意，M（a，0），f'（x）=2x-a；
y=g（x-1）=ln（x-1）的圖象與x軸的交點N（2，0），y'=$\frac{1}{x-1}$，
則由題意可得，2a-a=1，
解得，a=1，
則f（x）=x²-x，f（2）=4-2=2．
（Ⅱ）y=f[xg（x）+t]=[xlnx+t]²-（xlnx+t）
=（xlnx）²+（2t-1）（xlnx）+t²-t，
令u=xlnx，
∵x∈[1，e]，∴0≤u≤e；
y=u²+（2t-1）u+t²-t圖象的對稱軸u=$\frac{1-2t}{2}$，
且開口向上，
①當(dāng)u=$\frac{1-2t}{2}$≤0，即t≥$\frac{1}{2}$時，y_min=y|_u=0=t²-t，
②當(dāng)u=$\frac{1-2t}{2}$≥e，即t≤$\frac{1-2e}{2}$時，y_min=y|_u=e=e²+（2t-1）e+t²-t，
③0＜$\frac{1-2t}{2}$＜e，即$\frac{1-2e}{2}$＜t＜$\frac{1}{2}$時，u=$\frac{1-2t}{2}$，y_min=（$\frac{1-2t}{2}$）²+（2t-1）•$\frac{1-2t}{2}$+t²-t=-$\frac{1}{4}$．

點評 本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義，同時考查了換元法及二次函數(shù)在閉區(qū)間上最值問題，屬于中檔題．