Question

12．求下列雙曲線的實軸長，虛軸長，焦點坐標，頂點坐標，離心率與漸近線方程，并用“描點法”畫出圖形．
（1）9x²-y²=81；
（2）$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1．

Answer 1

分析 雙曲線方程化為標準方程，確定幾何量，即可求出雙曲線的實軸長，虛軸長，焦點坐標，頂點坐標，離心率與漸近線方程．

解答 解：（1）9x²-y²=81可化為$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{81}$=1，∴a=3，b=9，c=3$\sqrt{10}$，
∴實軸長為6，虛軸長18，焦點坐標（±3$\sqrt{10}$，0），頂點坐標（±3，0），離心率$\sqrt{10}$，漸近線方程y=±3x；
如圖所示

（2）$\frac{{y}^{2}}{2}-\frac{{x}^{2}}{4}$=1，a=$\sqrt{2}$，b=2，c=$\sqrt{6}$，
∴實軸長為2$\sqrt{2}$，虛軸長4，焦點坐標（0，±$\sqrt{6}$），頂點坐標（0，±$\sqrt{2}$），離心率$\sqrt{3}$，漸近線方程y=±$\sqrt{2}$x．如圖所示

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查學生的作圖能力，屬于中檔題．