Question

7．經(jīng)測算，某型號(hào)汽車在勻速行駛過程中每小時(shí)耗油量y（升）與速度x（千米/每小時(shí)） （50≤x≤120）的關(guān)系可近似表示為：$y=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{75}（{{x^2}-130x+4900}），x∈[{50，80}）\\ 12-\frac{x}{60}，x∈[{80，120}]\end{array}\right.$
（Ⅰ）該型號(hào)汽車速度為多少時(shí)，可使得每小時(shí)耗油量最低？
（Ⅱ）已知A，B兩地相距120公里，假定該型號(hào)汽車勻速從A地駛向B地，則汽車速度為多少時(shí)總耗油量最少？

Answer 1

分析 （Ⅰ）分類討論，求出函數(shù)的最小值，比較可得結(jié)論；
（Ⅱ）分類討論，利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性，即可得出結(jié)論．

解答 解：（Ⅰ） 當(dāng)x∈[50，80）時(shí)，$y=\frac{1}{75}（{{x^2}-130x+4900}）=\frac{1}{75}[{{{（{x-65}）}^2}+675}]$，
x=65，y有最小值$\frac{1}{75}×675=9$
當(dāng)x∈[80，120]，函數(shù)單調(diào)遞減，故當(dāng)x=120時(shí)，y有最小值10
因9＜10，故x=65時(shí)每小時(shí)耗油量最低
（Ⅱ）設(shè)總耗油量為l由題意可知$l=y•\frac{120}{x}$：
①當(dāng)x∈[50，80）時(shí)，$l=y•\frac{120}{x}=\frac{8}{5}（{x+\frac{4900}{x}-130}）≥\frac{8}{5}（{2\sqrt{x×\frac{4900}{x}}-130}）=16$
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\frac{4900}{x}$，即x=70時(shí)，l取得最小值16
②當(dāng)x∈[80，120]時(shí)，$l=y•\frac{120}{x}=\frac{1440}{x}-2$為減函數(shù)
當(dāng)x=120，l取得最小值10
∵10＜16，所以當(dāng)速度為120時(shí)，總耗油量最少．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查函數(shù)最值的應(yīng)用，考查函數(shù)模型的建立，考查函數(shù)的單調(diào)性，利用基本不等式是解決本題的關(guān)鍵．