Question

6．已知拋物線C：x²=4y的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且斜率為1的直線與拋物線相交于M、N兩點(diǎn)，設(shè)直線l是拋物線C的切線，且l∥MN，P為l上一點(diǎn)，則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$的最小值為-14．

Answer 1

分析 求出M，N的坐標(biāo)和直線l的方程，設(shè)P（x，x-1），得出$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$關(guān)于x的函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求出最小值．

解答 解：拋物線的焦點(diǎn)F（0，1），∴直線MN的方程為：y=x+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}=4y}\\{y=x+1}\end{array}\right.$得M（2+2$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$），N（2-2$\sqrt{2}$，3-2$\sqrt{2}$）．
設(shè)直線l的方程為y=x+b，代入x²=4y得x²-4x-4b=0，
∵直線l是拋物線C的切線，∴方程只有一解．
∴△=16+16b=0，解得b=-1．即l方程為：y=x-1．
設(shè)P（x，x-1），$\overrightarrow{PM}$=（2+2$\sqrt{2}$-x，4+2$\sqrt{2}$-x），$\overrightarrow{PN}$=（2-2$\sqrt{2}$-x，4-2$\sqrt{2}$-x）．
則$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$=[（2-x）+2$\sqrt{2}$][（2-x）-2$\sqrt{2}$]+[（4-x）+2$\sqrt{2}$][（4-x）-2$\sqrt{2}$]=2x²-12x+4=2（x-3）²-14．
∴當(dāng)x=3時，$\overrightarrow{PM}•\overrightarrow{PN}$取得最小值-14．
故答案為：-14．

點(diǎn)評 本題考查了拋物線的性質(zhì)，直線與圓錐曲線的關(guān)系，屬于中檔題．