Question

17．已知函數(shù)f（x）=x³-2x²+x，將函數(shù)y=|f（x）|的圖象沿著x軸作對稱變換得到函數(shù)y=g（x）的圖象，函數(shù)h（x）=$\left\{\begin{array}{l}g（x），x＜1\\ lnx，x≥1\end{array}$，若關(guān)于x的不等式h（x）-kx≤0在R上恒成立，則實數(shù)k的取值范圍是（　　）

• A． $[{\frac{1}{e^2}，1}]$
• B． $[{\frac{2}{e}，1}]$
• C． $[{\frac{1}{e}，1}]$
• D． [1，e]

Answer 1

分析 由題意畫出函數(shù)h（x）與y=kx的圖象，再由導(dǎo)數(shù)求出直線y=kx與y=h（x）相切的切線斜率得答案．

解答 解：由f（x）=x³-2x²+x，得f′（x）=3x²-4x+1，
由f′（x）=0，得x=$\frac{1}{3}$或x=1，
當(dāng)x∈（-∞，$\frac{1}{3}$），（1，+∞）時，f（x）為增函數(shù)，當(dāng)x∈（$\frac{1}{3}，1$）時，f（x）為減函數(shù)，
不等式h（x）-kx≤0在R上恒成立，即h（x）≤kx在R上恒成立，
作出函數(shù)y=h（x）與y=kx的圖象如圖：


設(shè)y=kx與y=lnx相切于（x₀，lnx₀），$y′{|}_{x={x}_{0}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，
則切線方程為y-$ln{x}_{0}=\frac{1}{{x}_{0}}（x-{x}_{0}）$，代入（0，0）得：-lnx₀=-1，得x₀=e，
∴k=$\frac{1}{e}$；
由f（x）=x³-2x²+x，得f′（x）=3x²-4x+1，
可得f′（0）=1，即y=h（x）在原點處的切線的斜率為1．
∴實數(shù)k的取值范圍是[$\frac{1}{e}，1$]．
故選：C．

點評 本題考查函數(shù)恒成立問題，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，屬中檔題．