Question

對于定義域?yàn)镈的函數(shù)y=f（x），若同時滿足下列條件：
①f（x）在D內(nèi)單調(diào)遞增或單調(diào)遞減；
②存在區(qū)間[a，b]⊆D，使f（x）在[a，b]上的值域?yàn)閇a，b]；那么把y=f（x）（x∈D）叫閉函數(shù)．
（1）求閉函數(shù)y=-x³符合條件②的區(qū)間[a，b]；
（2）判斷函數(shù)是否為閉函數(shù)？并說明理由；
（3）若是閉函數(shù)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)單調(diào)性依據(jù)閉區(qū)間的定義等價轉(zhuǎn)化為方程，直接求解．
（2）判斷其在（0，+∞）是否有單調(diào)性，再據(jù)閉函數(shù)的定義判斷；
（3）根據(jù)閉函數(shù)的定義一定存在區(qū)間[a，b]，由定義直接轉(zhuǎn)化求解即可．
解答：解：（1）由題意，y=-x³在[a，b]上遞減，
則解得（4分）
所以，所求的區(qū)間為[-1，1]；（5分）
（2）取x₁=1，x₂=10，則，
即f（x）不是（0，+∞）上的減函數(shù)．
取，
，
即f（x）不是（0，+∞）上的增函數(shù)
所以，函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，
從而該函數(shù)不是閉函數(shù)；（9分）
（3）若是閉函數(shù)，則存在區(qū)間[a，b]，
在區(qū)間[a，b]上，函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇a，b]，
即，∴a，b為方程的兩個實(shí)數(shù)根，
即方程x²-（2k+1）x+k²-2=0（x≥-2，x≥k）有兩個不等的實(shí)根（11分）
當(dāng)k≤-2時，有，解得，（13分）
當(dāng)k＞-2時，有，無解，（15分）
綜上所述，．
點(diǎn)評：考查函數(shù)的單調(diào)性及新定義型函數(shù)的理解，以及問題的等價轉(zhuǎn)化能力．