橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在x軸上，離心率為，橢圓與直線(xiàn)x+y+1=0相交于P、Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ.求橢圓的方程.

解析：設(shè)橢圓的方程為=1(a＞b＞0).

∵e==,∴c2=a2.

又∵a2=b2+c2,

∴a2=4b2.

∴橢圓方程為=1.它與x+y+1=0聯(lián)立，消去x，得5y2+2y+1-4b2=0.設(shè)P(x1,y1)、Q（x2,y2），則y1+y2=-,y1y2=且Δ=4-20（1-4b2）=80b2-16＞0.(*)

又∵kOP·kOQ=-1,∴y1y2+x1x2=0.

而x1x2=(y1+1)(y2+1)=1+(y1+y2)+y1y2=1-+,

∴=0.解得b2=.代入(*)式成立.故所求的橢圓方程為x2+y2=1.

練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)
FB
⊥
AB
時(shí)，其離心率為
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-1
2
，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”．類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率e等于
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，A、B是頂點(diǎn)，F(xiàn)是左焦點(diǎn)；當(dāng)BF⊥AB時(shí)，此類(lèi)橢圓稱(chēng)為“黃金橢圓”，其離心率為
5
-1
2
．類(lèi)比“黃金橢圓”可推算出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率e=
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

如圖，橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為左焦點(diǎn)，當(dāng)
FB
⊥
AB
時(shí)，其離心率為
5
-1
2
，此類(lèi)橢圓被稱(chēng)為“黃金橢圓”，類(lèi)比“黃金橢圓”，可推算出“黃金雙曲線(xiàn)”的離心率為（　�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，離心率e=
3
2
，若橢圓與直線(xiàn)x+y+1=0交于P，Q兩點(diǎn)，且OP⊥OQ（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求橢圓的方程．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)橢圓中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，A（2，O）是它的一個(gè)頂點(diǎn)，且長(zhǎng)軸是短軸的2倍，
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若橢圓的焦點(diǎn)在x軸，設(shè)直線(xiàn)y=kx（k＞0）與橢圓相交于E、F兩點(diǎn)，求四邊形AEBF面積的最大值．

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