定義區(qū)間，，，的長度均為，其中．

（1）求關于的不等式的解集構成的區(qū)間的長度；

（2）若關于的不等式的解集構成的區(qū)間的長度為，求實數(shù)的值；

（3）已知關于的不等式，的解集構成的各區(qū)間的長度和超過，求實數(shù)的取值范圍．

 

【答案】

（1）區(qū)間的長度是.

（2）（舍）.

（3）實數(shù)的取值范圍是.

【解析】

試題分析：（1）不等式的解是

所以區(qū)間的長度是  3分

（2）

當時，不符合題意  4分

當時，的兩根設為，且

結合韋達定理知 

解得（舍）  7分

（3）

=

設，原不等式等價于 ，   9分

因為函數(shù)的最小正周期是，長度恰為函數(shù)的一個正周期

所以時，， 的解集構成的各區(qū)間的長度和超過

即實數(shù)的取值范圍是  12分

考點：指數(shù)不等式，和差倍半的三角函數(shù)公式，三角不等式，三角函數(shù)圖象和性質(zhì)。

點評：難題，指數(shù)不等式，常�；癁橥讛�(shù)指數(shù)冪的不等關系或利用“換元法”，加以轉(zhuǎn)化。三角函數(shù)不等式問題，通常利用三角公式進行化簡，結合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，加以處理，本題較難。

 

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設a＞1，函數(shù)y=|logax|的定義域為[m，n]（m＜n），值域為[0，1]，定義“區(qū)間[m，n]的長度等于n-m”，若區(qū)間[m，n]長度的最小值為
5
6
，則實數(shù)a的值內(nèi)（　　）
A、11
B、6
C、
11
6
D、
3
2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知二次函數(shù)f（x）=ax2+bx+1，對于任意的實數(shù)x1、x2（x1≠x2），都有
f(x1)+f(x1)
2
＞f(
x1+x2
2
)成立，且f（x+2）為偶函數(shù)．
（1）證明：實數(shù)a＞0；           
（2）求實數(shù)a與b之間的關系；
（3）定義區(qū)間[m，n]的長度為n-m，問是否存在常數(shù)a，使得函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[a，3]的值域為D，且D的長度為10-a3？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義區(qū)間[x1，x2]的長度為x2-x1，已知函數(shù)f（x）=3|x|的定義域為[a，b]，值域為[1，9]，則區(qū)間[a，b]的長度的最大值為
4
4
，最小值為
2
2
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2011•安徽模擬）區(qū)間[0，m]在映射f：x→2x+m所得的對應區(qū)間為[a，b]，若區(qū)間[a，b]的長度比區(qū)間[0，m]的長度大5，則m=
5
5
．（定義區(qū)間[a，b]的長度為b-a）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設函數(shù)f（x）=ax-（1+a2）x2（a＞0）．區(qū)間I={x|f（x）＞0}，定義區(qū)間（α，β）的長度為β-α．
（1）求區(qū)間I的長度H（a）（用a表示）；
（2）若a∈[3，4]，求H（a）的最大值．

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