【題目】已知函數(shù)f(x)=x2-ax+2lnx,a∈R.
(Ⅰ)若曲線y=f(x)在(1,f(1))處的切線垂直于直線y=x,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(Ⅱ)若x>1時,f(x)>0恒成立,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】(Ⅰ)見解析(Ⅱ)(-∞,1].
【解析】試題分析:(I)求出函數(shù)的導數(shù),求得切線的斜率,由題意可得斜率為-1,可得,求出導數(shù),令導數(shù)大于0,可得增區(qū)間,令導數(shù)小于0,可得減區(qū)間;
(Ⅱ)運用參數(shù)分離,可得在 時恒成立,令求得導數(shù),判斷函數(shù)的單調(diào)性,運用單調(diào)性即可求得的取值范圍.
試題解析:(Ⅰ)f(x)定義域為(0,+∞),f′(x)=2x-a+,
f′(1)=4-a=-1 ,a=5,
f(x)=x2-5x+2lnx,f′(x)=2x-5+=,
當x>2或0<x<時,f′(x)>0,當<x<2時,f′(x)<0,
故f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0, ),(2,+∞),單調(diào)遞減區(qū)間為(,2).
(Ⅱ)由f(x)>0,得a<在x>1時恒成立,
令g(x)=,g′(x)=
令h(x)=x2+2-2lnx,h′(x)=2x->0在x>1時成立,
所以h(x)在(1,+∞)為增函數(shù),h(x)>h(1)=3>0 .
故g′(x)>0,故g(x)在(1,+∞)為增函數(shù).g(x)>g(1)=1,
所以a≤1,即實數(shù)a的取值范圍為(-∞,1].
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【題目】已知{an}是等差數(shù)列,{bn}是各項均為正數(shù)的等比數(shù)列,且b1=a1=1,b3=a4,b1+b2+b3=a3+a4.
(1)求數(shù)列{an},{bn}的通項公式;
(2)設cn=anbn,求數(shù)列{cn}的前n項和Tn.
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【題目】為了減少霧霾,還城市一片藍天,某市政府于12月4日到12月31日在主城區(qū)實行車輛限號出行政策,鼓勵民眾不開車低碳出行,某甲乙兩個單位各有200名員工,為了了解員工低碳出行的情況,統(tǒng)計了12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人數(shù),畫出莖葉圖如下:
(1)若甲單位數(shù)據(jù)的平均數(shù)是122,求;
(2)現(xiàn)從如圖的數(shù)據(jù)中任取4天的數(shù)據(jù)(甲、乙兩單位中各取2天),記其中甲、乙兩單位員工低碳出行人數(shù)不低于130人的天數(shù)為, ,令,求的分布列和期望.
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【題目】(2017·黃岡質(zhì)檢)如圖,在棱長均為2的正四棱錐P-ABCD中,點E為PC的中點,則下列命題正確的是( )
A. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
B. BE∥平面PAD,且BE到平面PAD的距離為
C. BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角大于30°
D. BE與平面PAD不平行,且BE與平面PAD所成的角小于30°
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【題目】選修4—4:坐標系與參數(shù)方程
在直角坐標系中,直線的參數(shù)方程為 .以坐標原點為極點,以軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.
(Ⅰ)寫出的普通方程和的直角坐標方程;
(Ⅱ)設直線與曲線交于A,B兩點,當時,求的值.
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【題目】已知函數(shù),a∈R.
(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;
(2)若f(x)在(1,2)上是單調(diào)函數(shù),求a的取值范圍.
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【題目】(2017·河西五市二聯(lián))下列說法正確的是( )
A. 命題“x∈R,ex>0”的否定是“x∈R,ex>0”
B. 命題“已知x,y∈R,若x+y≠3,則x≠2或y≠1”是真命題
C. “x2+2x≥ax在x∈[1,2]上恒成立”“(x2+2x)min≥(ax)min在x∈[1,2]上恒成立”
D. 命題“若a=-1,則函數(shù)f(x)=ax2+2x-1只有一個零點”的逆命題為真命題
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【題目】已知橢圓C: (a>b>0)過點(1, ),且離心率e=.
(Ⅰ)求橢圓C的標準方程;
(Ⅱ)若直線l:y=kx+m與橢圓C相交于A,B兩點(A,B不是左右頂點),橢圓的右頂點為D,且滿足·=0,試判斷直線l是否過定點,若過定點,求出該定點的坐標;若不過定點,請說明理由.
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