Question

18．已知橢圓Γ的中心在坐標原點，焦點在x軸上，離心率e=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，點P（$\frac{\sqrt{6}}{2}$，1）在橢圓Γ上．
（Ⅰ）求橢圓Γ的方程；
（Ⅱ）過Γ的右焦點F作兩條垂直的弦AB，CD，設AB，CD的中點分別為M，N，證明：直線MN必過定點，并求此定點．

Answer 1

分析 解：（Ⅰ）設出所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．由橢圓的離心率及點P在橢圓上列式求得a，b的值，則橢圓方程可求；
（Ⅱ）求出橢圓右焦點F的坐標，然后分弦AB，CD的斜率均存在和弦AB或CD的斜率不存在兩種情況求解．當斜率均存在時，寫出直線AB的方程，代入橢圓方程后化簡，
利用根與系數(shù)關系求得M坐標，同理求得N的坐標．進一步分k≠±1和k=±1求得直線MN的方程，從而說明直線MN過定點，當弦AB或CD的斜率不存在時，易知，直線MN為x軸，也過點（$\frac{3}{5}，0$）．

解答 解：（Ⅰ）由題意可設所求橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1（a＞0，b＞0）$．
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{6}{4{a}^{2}}+\frac{1}{^{2}}=1}\\{\frac{{a}^{2}-^{2}}{{a}^{2}}=\frac{1}{3}}\end{array}\right.$，
解得：a²=3，b²=2．
即橢圓Γ的方程為$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）由題意得F（1，0），
（1）當弦AB，CD的斜率均存在時，
設AB的斜率為k，則CD的斜率為$-\frac{1}{k}$．
令A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線段AB中點M（x₀，y₀）．
將直線AB方程代入橢圓方程$\frac{{x}^{2}}{3}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$，
并化簡得（3k²+2）x²-6k²x+（3k²-6）=0．
則${x}_{0}=\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}=\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}$，${y}_{0}=k（{x}_{0}-1）=-\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$，于是M（$\frac{3{k}^{2}}{3{k}^{2}+2}，-\frac{2k}{3{k}^{2}+2}$）．
∵CD⊥AB，∴將點M坐標中的k換為$-\frac{1}{k}$，
即得點$N（\frac{3}{2{k}^{2}+3}，\frac{2k}{2{k}^{2}+3}）$．
①當k≠±1時，直線MN的方程為$y-\frac{2k}{2{k}^{2}+3}=-\frac{5k}{3{k}^{2}-3}（x-\frac{3}{2{k}^{2}+3}）$．
令y=0，得x=$\frac{3}{5}$，則直線MN過定點（$\frac{3}{5}，0$）；
②當k=±1時，易得直線MN的方程x=$\frac{3}{5}$，也過點（$\frac{3}{5}，0$）．
（2）當弦AB或CD的斜率不存在時，易知，直線MN為x軸，也過點（$\frac{3}{5}，0$）．
綜上，直線MN必過定點（$\frac{3}{5}，0$）．

點評 本題考查了橢圓方程的求法，考查了直線和圓錐曲線的位置關系，涉及直線和圓錐曲線問題，常采用聯(lián)立直線方程和圓錐曲線方程，利用根與系數(shù)關系求解，是中檔題．