Question

6．正項(xiàng)數(shù)列{a_n}，a₁=1，且a_n•a_n+1²=3⁶，求a_n的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 把已知的數(shù)列遞推式兩邊取對(duì)數(shù)，得到log₃a_n+2log₃a_n+1=6，換元后構(gòu)造等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式得答案．

解答 解：由a_n•a_n+1²=3⁶，兩邊取以3為底數(shù)的對(duì)數(shù)，得
log₃a_n+2log₃a_n+1=6，
設(shè)b_n=log₃a_n，
∵a₁=1，∴b₁=log₃a₁=log₃1=0．
b_n+2b_n+1=6，即$_{n+1}=-\frac{1}{2}_{n}+3$．
∴$_{n+1}-2=-\frac{1}{2}（_{n}-2）$．
∴$_{n}-2=（_{1}-2）•（-\frac{1}{2}）^{n-1}=（-\frac{1}{2}）^{n-2}$．
則$_{n}=2+（-\frac{1}{2}）^{n-2}$，
∴${a}_{n}={3}^{_{n}}={3}^{2+（-\frac{1}{2}）^{n-2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等比關(guān)系的確定，考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及對(duì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，是中檔題．