Question

12．已知向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$的夾角為$\frac{π}{3}$，|$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$|=|$\overrightarrow{a}$|=5，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，|$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$|=2$\sqrt{3}$，則$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$與$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角正弦值為$\frac{3}{5}$，|$\overrightarrow{c}$|=4+$\sqrt{3}$或$\sqrt{37-16\sqrt{3}}$．

Answer 1

分析 作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，則$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$=$\overrightarrow{BC}$，運(yùn)用四點(diǎn)共圓的知識(shí)和解三角形的正弦、余弦定理，即可得到所求．

解答 解：作$\overrightarrow{OA}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{OB}$=$\overrightarrow$，$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{c}$，
則$\overrightarrow{BA}$=$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$，向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$=$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$=$\overrightarrow{BC}$，
由題意可得△OAB為邊長(zhǎng)為5的等邊三角形，
向量$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{c}$-$\overrightarrow$的夾角為$\frac{2π}{3}$，可得∠ACB=120°，
由∠AOB+∠ACB=180°，可得四點(diǎn)O，A，B，C共圓，
在△ABC中，CA=2$\sqrt{3}$，AB=5，∠ACB=120°，
由正弦定理可得sin∠CBA=$\frac{AC•sin120°}{AB}$=$\frac{2\sqrt{3}•\frac{\sqrt{3}}{2}}{5}$=$\frac{3}{5}$，
在△OAC中，OA=5，AC=2$\sqrt{3}$，∠OCA=60°，
由余弦定理可得5²=OC²+12-2OC•2$\sqrt{3}$•$\frac{1}{2}$，
解得OC=4+$\sqrt{3}$．
當(dāng)C在△OAB中，同理可得sin∠CBA=$\frac{3}{5}$，OC=$\sqrt{37-16\sqrt{3}}$．
故答案為：$\frac{3}{5}$，4+$\sqrt{3}$或$\sqrt{37-16\sqrt{3}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查向量的三角形法則和向量夾角的概念，同時(shí)考查解三角形的正弦、余弦定理的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．