Question

19．已知數(shù)列{a_n}是遞增等差數(shù)列，a₁=2，其前n項為S_n（n∈N^*）．且a₁，a₄，S₅+2成等比數(shù)列．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項a_n及前n項和S_n；
（Ⅱ）若數(shù)列{b_n}滿足b_n=${2^{\frac{a_n}{2}-1}}$+1，計算{b_n}的前n項和T_n，并用數(shù)學歸納法證明：當n≥5時，n∈N^*，T_n＞S_n．

Answer 1

分析 （I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，由a₁，a₄，S₅+2成等比數(shù)列．可得${a}_{4}^{2}$=a₁（S₅+2），即（2+3d）²=2$（5×2+\frac{5×4}{2}d+2）$，解出d，再利用等差數(shù)列的通項公式及其前n項和公式即可得出．
（Ⅱ）b_n=${2^{\frac{a_n}{2}-1}}$+1=2^n-1+1，可得{b_n}的前n項和T_n=2ⁿ+n-1．當n≥5時，n∈N^*，T_n＞S_n．即證明：2ⁿ＞n²+1．利用數(shù)學歸納法證明即可得出．

解答 解：（I）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d＞0，
∵a₁，a₄，S₅+2成等比數(shù)列．
∴${a}_{4}^{2}$=a₁（S₅+2），即（2+3d）²=2$（5×2+\frac{5×4}{2}d+2）$，
化為：9d²-8d-20=0，d＞0．
解得d=2，
∴a_n=2+2（n-1）=2n．
S_n=$\frac{n（2n+2）}{2}$=n²+n．
（Ⅱ）b_n=${2^{\frac{a_n}{2}-1}}$+1=2^n-1+1，
∴{b_n}的前n項和T_n=$\frac{{2}^{n}-1}{2-1}$+n=2ⁿ+n-1．
當n≥5時，n∈N^*，T_n＞S_n．即證明：2ⁿ＞n²+1．
下面利用數(shù)學歸納法證明：當n≥5時，n∈N^*，T_n＞S_n．
①當n=5時，2⁵=32＞26=5²+1，即n=1時成立．
②假設(shè)當n=k∈N^*（k≥5）時，2^k＞k²+1成立，
則n=k+1時，2^k+1=2×2^k＞2k²+2，
∵2k²+2-[（k+1）²+1]=k²-2k=k（k-2）＞0，
∴2k²+2＞（k+1）²+1，
即2^k+1＞（k+1）²+1，n=k+1時不等式成立．
綜上得當n≥5時，T_n＞S_n，n∈N^*．

點評 本題考查了等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項公式及其前n項和公式、遞推關(guān)系、數(shù)學歸納法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．