Question

若正數(shù)x，y滿足log₂（x+y）=-1，則log

1

2

(

1

x

+

1

y

)有（　　）

A．最大值-3

B．最小值-3

C．最小值1

D．最大值1

Answer 1

分析：log_2由（x+y）=-1可得x+y=

1

2

，則

1

x

+

1

y

=

2(x+y)

x

+

2(x+y)

y

，利用基本不等式可求

1

x

+

1

y

的最小值，進而可求log

1

2

(

1

x

+

1

y

)的最大值

解答：解：∵log₂（x+y）=-1，x＞0，y＞0
∴x+y=

1

2

∴

1

x

+

1

y

=

2(x+y)

x

+

2(x+y)

y

=4+

2y

x

+

2x

y

≥4+2

2y x • 2x y

=8
當(dāng)且僅當(dāng)

2y

x

=

2x

y

即x=y=

1

4

時取等號
則log

1

2

(

1

x

+

1

y

)≤log

1

2

8=-3
故log

1

2

(

1

x

+

1

y

)有最大值-3
故選A

點評：本題主要考查了利用基本不等式求解最值，求解的關(guān)鍵是1的代換

1

x

+

1

y

=

2(x+y)

x

+

2(x+y)

y

，還要注意對數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用．