【題目】如圖,在平面直角坐標系xOy中,已知橢圓 =1(a>b>0)的離心率為 ,長軸長為4,過橢圓的左頂點A作直線l,分別交橢圓和圓x2+y2=a2于相異兩點P,Q.

(1)若直線l的斜率為 ,求 的值;
(2)若 ,求實數(shù)λ的取值范圍.

【答案】
(1)解:由條件可得,2a=4,e= = ,a2﹣b2=c2

解得a=2,b=c=

可得橢圓的方程為 ,圓的方程為x2+y2=4;

(方法一)直線l的方程為 ,由 得:3x2+4x﹣4=0,

解得 ,所以

所以 ,又因為原點O到直線l的距離 ,

所以 ,

所以 ;

(方法二)由 得3y2﹣4y=0,所以yP= ,

可得5y2﹣8y=0,解得yQ= ,

所以 = = × =


(2)解:(方法一)若 ,則λ= ﹣1,

設直線l:y=k(x+2),由 得,(2k2+1)x2+8k2﹣4=0,

即(x+2)[(2k2+1)x+(4k2﹣2)]=0,

所以 ,得 ;

所以

,同理Q( ), ,

即有λ= ﹣1=1﹣

由k2>0,可得0<k2<1.

(方法二)由方法一可得,λ= ﹣1= ﹣1= ﹣1=1﹣

由題意:k2>0,所以0<λ<1


【解析】(1)由題意可得a=2,運用離心率公式和a,b,c的關系可得b,c,進而得到橢圓方程和圓的方程,設出直線l的方程代入橢圓方程,求得弦長AP,運用圓的弦長公式可AQ,進而所求之比;或聯(lián)立直線的方程和橢圓方程(或圓的方程)求得P,Q的縱坐標,即可得到所求之比;(2)若 ,則 ,設直線l:y=k(x+2),代入橢圓方程,求得交點,以及弦長AP,代入圓方程可得交點,可得弦長AQ,可得實數(shù)λ的式子,運用不等式的性質即可得到所求范圍;或將直線方程代入橢圓方程(圓方程)求得P,Q的縱坐標,由坐標之比,結合不等式的性質,即可得到所求范圍.

練習冊系列答案
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【題目】為分析學生入學時的數(shù)學成績對高一年級數(shù)學學習的影響,在高一年級學生中隨機抽取10名學生,統(tǒng)計他們入學時的數(shù)學成績和高一期末的數(shù)學成績,如下表:

學生編號

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

入學成績x(分)

63

67

45

88

81

71

52

99

58

76

高一期末

成績y(分)

65

78

52

82

92

89

73

98

56

75

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(2)求y關于x的線性回歸方程;

(3)若某學生入學時的數(shù)學成績?yōu)?0分,試估計他高一期末的數(shù)學成績.

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(2)求證:MA⊥MB;

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